Номер 658, страница 256 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 658, страница 256.

658 a) Известно два члена геометрической прогрессии ($y_n$): $y_3 = 25$ и $y_6 = -3125$. Найдите знаменатель прогрессии $q$ и выпишите все её члены с первого по шестой.

б) Известно два члена геометрической прогрессии ($b_n$): $b_2 = 10$ и $b_5 = 10^{-2}$. Выпишите все члены этой прогрессии с первого по пятый включительно.

а)

Дана геометрическая прогрессия $(y_n)$, для которой известны два члена: $y_3 = 25$ и $y_6 = -3125$.
Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $y_n = y_1 \cdot q^{n-1}$, где $y_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

Основываясь на этой формуле, запишем выражения для $y_3$ и $y_6$:
$y_3 = y_1 \cdot q^{3-1} = y_1 \cdot q^2 = 25$
$y_6 = y_1 \cdot q^{6-1} = y_1 \cdot q^5 = -3125$

Для того чтобы найти знаменатель прогрессии $q$, разделим второе равенство на первое:
$\frac{y_6}{y_3} = \frac{y_1 \cdot q^5}{y_1 \cdot q^2} = q^{5-2} = q^3$
Теперь подставим числовые значения:
$q^3 = \frac{-3125}{25} = -125$
Из этого уравнения находим $q$:
$q = \sqrt[3]{-125} = -5$

Теперь, зная знаменатель, найдем первый член прогрессии $y_1$, используя выражение для $y_3$:
$y_1 \cdot q^2 = 25$
$y_1 \cdot (-5)^2 = 25$
$y_1 \cdot 25 = 25$
$y_1 = 1$

Зная $y_1 = 1$ и $q = -5$, выпишем все члены прогрессии с первого по шестой:
$y_1 = 1$
$y_2 = y_1 \cdot q = 1 \cdot (-5) = -5$
$y_3 = y_2 \cdot q = -5 \cdot (-5) = 25$
$y_4 = y_3 \cdot q = 25 \cdot (-5) = -125$
$y_5 = y_4 \cdot q = -125 \cdot (-5) = 625$
$y_6 = y_5 \cdot q = 625 \cdot (-5) = -3125$

Ответ: знаменатель прогрессии $q = -5$; члены прогрессии с первого по шестой: 1, -5, 25, -125, 625, -3125.

б)

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, для которой известны два члена: $b_2 = 10$ и $b_5 = 10^{-2}$.
Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Запишем выражения для $b_2$ и $b_5$:
$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q = 10$
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4 = 10^{-2} = 0.01$

Для нахождения знаменателя $q$, разделим второе равенство на первое:
$\frac{b_5}{b_2} = \frac{b_1 \cdot q^4}{b_1 \cdot q} = q^{4-1} = q^3$
Подставим числовые значения:
$q^3 = \frac{10^{-2}}{10} = 10^{-2-1} = 10^{-3} = \frac{1}{1000}$
Из этого уравнения находим $q$:
$q = \sqrt[3]{10^{-3}} = 10^{-1} = 0.1$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, используя выражение для $b_2$:
$b_1 \cdot q = 10$
$b_1 \cdot 0.1 = 10$
$b_1 = \frac{10}{0.1} = 100$

Теперь выпишем все члены этой прогрессии с первого по пятый включительно:
$b_1 = 100$
$b_2 = b_1 \cdot q = 100 \cdot 0.1 = 10$
$b_3 = b_2 \cdot q = 10 \cdot 0.1 = 1$
$b_4 = b_3 \cdot q = 1 \cdot 0.1 = 0.1$
$b_5 = b_4 \cdot q = 0.1 \cdot 0.1 = 0.01$

Ответ: члены прогрессии с первого по пятый: 100, 10, 1, 0.1, 0.01.