Номер 662, страница 257 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 662, страница 257.

662 Пусть последовательность $(b_n)$ — геометрическая прогрессия.

Является ли геометрической прогрессией последовательность,которая получится, если:

а) к каждому члену последовательности $(b_n)$ прибавить одно ито же не равное нулю число;

б) каждый член последовательности $(b_n)$ умножить на одно ито же не равное нулю число?

а) к каждому члену последовательности $(b_n)$ прибавить одно и то же не равное нулю число;
Пусть $(b_n)$ — заданная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. По определению, $b_{n+1} = b_n \cdot q$ для любого натурального $n$.
Пусть $d$ — это не равное нулю число, которое прибавляется к каждому члену последовательности $(b_n)$. Новая последовательность $(c_n)$ задается формулой $c_n = b_n + d$.
Для того чтобы последовательность $(c_n)$ была геометрической прогрессией, необходимо, чтобы отношение любого ее члена к предыдущему было постоянной величиной. Проверим это отношение:
$ \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{n+1} + d}{b_n + d} = \frac{b_n \cdot q + d}{b_n + d} $
Это выражение зависит от $b_n$, а значит, и от номера члена $n$. Следовательно, в общем случае это отношение не является постоянным, и последовательность $(c_n)$ не является геометрической прогрессией.
Исключением является случай, когда знаменатель исходной прогрессии $q=1$. В этом случае $(b_n)$ — это постоянная последовательность, и $(c_n)$ также будет постоянной последовательностью, а значит, и геометрической прогрессией со знаменателем 1 (при условии, что ее члены не равны нулю).
Поскольку это выполняется не для любой геометрической прогрессии, а лишь в частном случае, общий ответ — нет.
Пример: Пусть дана прогрессия $2, 6, 18, ...$ ($b_1 = 2, q=3$). Прибавим число $d=4$. Новая последовательность $(c_n)$ будет $6, 10, 22, ...$.
Проверим отношения: $\frac{c_2}{c_1} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ и $\frac{c_3}{c_2} = \frac{22}{10} = \frac{11}{5}$. Так как $\frac{5}{3} \neq \frac{11}{5}$, последовательность не является геометрической прогрессией.
Ответ: нет, в общем случае не является.

б) каждый член последовательности $(b_n)$ умножить на одно и то же не равное нулю число?
Пусть $(b_n)$ — заданная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$.
Пусть $k$ — это не равное нулю число, на которое умножается каждый член последовательности. Новая последовательность $(c_n)$ задается формулой $c_n = k \cdot b_n$.
Проверим, является ли $(c_n)$ геометрической прогрессией, найдя отношение ее $(n+1)$-го члена к $n$-му члену:
$ \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{k \cdot b_{n+1}}{k \cdot b_n} $
Так как по условию $k \neq 0$, мы можем его сократить:
$ \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{n+1}}{b_n} $
Поскольку $(b_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q$, то $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$ для любого натурального $n$.
Следовательно, $\frac{c_{n+1}}{c_n} = q$.
Это означает, что отношение любого члена последовательности $(c_n)$ к предыдущему является постоянной величиной, равной $q$. Таким образом, последовательность $(c_n)$ является геометрической прогрессией с первым членом $c_1 = k \cdot b_1$ и тем же знаменателем $q$.
Ответ: да, является.