Номер 669, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 669, страница 262.

669 При поступлении на работу будущий сотрудник был ознакомлен с условиями оплаты: в первый год его годовой заработок составит 120 000 р., а затем в каждый следующий год будет увеличиваться в 1,2 раза по сравнению с предыдущим. Сотрудник планирует проработать на этом месте не менее 10 лет. Сколько он заработает за 10 лет?

Данная задача описывает ситуацию, в которой годовой заработок сотрудника увеличивается по правилу геометрической прогрессии. Заработок в первый год является первым членом прогрессии, а коэффициент увеличения — её знаменателем. Чтобы найти общий заработок за 10 лет, нам нужно вычислить сумму первых 10 членов этой прогрессии.

Определим параметры геометрической прогрессии, исходя из условий задачи:
Первый член прогрессии (заработок за первый год) $b_1 = 120 000$ рублей.
Знаменатель прогрессии (коэффициент увеличения) $q = 1,2$.
Количество лет (число членов прогрессии) $n = 10$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n$ вычисляется по формуле: $$ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} $$

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти суммарный заработок за 10 лет ($S_{10}$): $$ S_{10} = \frac{120 000 \cdot (1,2^{10} - 1)}{1,2 - 1} $$

Выполним вычисления по шагам.
1. Вычислим знаменатель дроби: $$ 1,2 - 1 = 0,2 $$
2. Теперь формула для $S_{10}$ упрощается: $$ S_{10} = \frac{120 000}{0,2} \cdot (1,2^{10} - 1) = 600 000 \cdot (1,2^{10} - 1) $$
3. Вычислим $1,2^{10}$: $$ 1,2^{10} \approx 6,1917364224 $$
4. Подставим это значение в наше выражение и найдем итоговую сумму: $$ S_{10} = 600 000 \cdot (6,1917364224 - 1) $$ $$ S_{10} = 600 000 \cdot 5,1917364224 $$ $$ S_{10} = 3 115 041,85344 $$

Поскольку результат представляет собой денежную сумму в рублях, его следует округлить до двух знаков после запятой (до копеек). $$ S_{10} \approx 3 115 041,85 \text{ рублей} $$

Ответ: за 10 лет сотрудник заработает 3 115 041,85 рублей.