Номер 663, страница 257 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 663, страница 257.

663 Исследуем

1) Рассмотрите геометрическую прогрессию

3; 6; 12; 24; 48; ... .

Возьмите любой член этой прогрессии и убедитесь в том, что он равен среднему геометрическому двух соседних членов. (Напомним, что среднее геометрическое двух положительных чисел $a$ и $b$ равно $\sqrt{ab}$.)

2) Пусть последовательность $(b_n)$ — геометрическая прогрессия, членами которой являются положительные числа. Докажите, что любой член, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов.

3) Найдите члены последовательности, обозначенные буквами, если известно, что эта последовательность — геометрическая прогрессия, в которой $q > 0$:

a) $b_1$; 6; $b_3$; 54; $b_5$; $b_6$; ...;

б) 9; $b_2$; 27; ...; $b_6$; 243; $b_8$; ... .

1)

Рассмотрим заданную геометрическую прогрессию: 3; 6; 12; 24; 48; ...

Это геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = 3$ и знаменателем $q = 6 / 3 = 2$.

Возьмем любой член этой прогрессии, например, $b_3 = 12$. Соседние с ним члены — это $b_2 = 6$ и $b_4 = 24$.

Найдем среднее геометрическое этих двух соседних членов по формуле $\sqrt{ab}$:

$\sqrt{b_2 \cdot b_4} = \sqrt{6 \cdot 24} = \sqrt{144} = 12$.

Результат совпадает со значением члена $b_3$.

Проверим для другого члена, например, $b_2 = 6$. Его соседние члены — $b_1 = 3$ и $b_3 = 12$.

$\sqrt{b_1 \cdot b_3} = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6$.

Результат совпадает со значением члена $b_2$. Таким образом, мы убедились, что любой член этой прогрессии равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов.

Ответ: Утверждение верно, например, $12 = \sqrt{6 \cdot 24}$.

2)

Пусть $(b_n)$ — геометрическая прогрессия с положительными членами и знаменателем $q$.

Докажем, что любой член прогрессии $b_n$ (при $n \geq 2$) равен среднему геометрическому его соседних членов, $b_{n-1}$ и $b_{n+1}$.

По определению геометрической прогрессии, мы можем выразить соседние члены через $b_n$:

$b_{n-1} = b_n / q$

$b_{n+1} = b_n \cdot q$

Найдем среднее геометрическое $b_{n-1}$ и $b_{n+1}$:

$\sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}} = \sqrt{\frac{b_n}{q} \cdot (b_n \cdot q)} = \sqrt{b_n^2}$.

Так как по условию все члены прогрессии $(b_n)$ положительны ($b_n > 0$), то $\sqrt{b_n^2} = b_n$.

Следовательно, $b_n = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что любой член геометрической прогрессии с положительными членами, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов.

3)

а) Дана последовательность: $b_1; 6; b_3; 54; b_5; b_6; ...$

Известно, что это геометрическая прогрессия с $b_2 = 6$ и $b_4 = 54$.

Воспользуемся формулой $n$-го члена $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$. Для $n=4$ и $k=2$ имеем:

$b_4 = b_2 \cdot q^{4-2} \Rightarrow 54 = 6 \cdot q^2$.

Отсюда находим $q^2 = \frac{54}{6} = 9$.

По условию $q > 0$, значит $q = \sqrt{9} = 3$.

Теперь найдем неизвестные члены:

$b_1 = b_2 / q = 6 / 3 = 2$

$b_3 = b_2 \cdot q = 6 \cdot 3 = 18$

$b_5 = b_4 \cdot q = 54 \cdot 3 = 162$

$b_6 = b_5 \cdot q = 162 \cdot 3 = 486$

Ответ: $b_1 = 2, b_3 = 18, b_5 = 162, b_6 = 486$.

б) Дана последовательность: $9; b_2; 27; ...; b_6; 243; b_8; ...$

Из данной записи следует, что $b_1 = 9$, $b_3 = 27$ и $b_7 = 243$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, используя $b_1$ и $b_3$:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} \Rightarrow 27 = 9 \cdot q^2$.

Отсюда $q^2 = \frac{27}{9} = 3$.

Так как $q > 0$, то $q = \sqrt{3}$.

Проверим это значение $q$ с членом $b_7=243$: $b_7 = b_1 \cdot q^{6} = 9 \cdot (\sqrt{3})^6 = 9 \cdot 3^3 = 9 \cdot 27 = 243$. Расчет верен.

Теперь найдем неизвестные члены:

$b_2 = b_1 \cdot q = 9 \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$

$b_6 = b_1 \cdot q^{5} = 9 \cdot (\sqrt{3})^5 = 9 \cdot (\sqrt{3})^4 \cdot \sqrt{3} = 9 \cdot 9 \cdot \sqrt{3} = 81\sqrt{3}$

$b_8 = b_7 \cdot q = 243 \cdot \sqrt{3} = 243\sqrt{3}$

Ответ: $b_2 = 9\sqrt{3}, b_6 = 81\sqrt{3}, b_8 = 243\sqrt{3}$.