Номер 659, страница 256 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 659, страница 256.

659 a) Найдите знаменатель геометрической прогрессии $($b_n$), если известно два её члена: $$b_3 = 10^7$ и $$b_5 = 10^5$. Восстановите прогрессию с первого по пятый член включительно. Сколько решений у вас получилось?

б) Известно два члена геометрической прогрессии $($c_n$): $$c_4 = -48$ и $$c_8 = -768$. Выпишите все её члены с первого по шестой. Сколько решений у вас получилось?

а)

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ - первый член, а $q$ - знаменатель прогрессии.

Также можно выразить один член прогрессии через другой по формуле: $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$.

В условии даны члены прогрессии: $b_3 = 10^7$ и $b_5 = 10^5$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, используя связь между $b_5$ и $b_3$:

$b_5 = b_3 \cdot q^{5-3}$

$b_5 = b_3 \cdot q^2$

Подставим известные значения в формулу:

$10^5 = 10^7 \cdot q^2$

Выразим $q^2$:

$q^2 = \frac{10^5}{10^7} = 10^{5-7} = 10^{-2} = \frac{1}{100}$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для знаменателя $q$:

$q_1 = \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10}$

$q_2 = -\sqrt{\frac{1}{100}} = -\frac{1}{10}$

Поскольку существует два возможных значения знаменателя, задача имеет два решения. Восстановим прогрессию с первого по пятый член для каждого случая.

Случай 1: $q = \frac{1}{10}$

Найдем первый член прогрессии $b_1$, используя известный член $b_3$:

$b_3 = b_1 \cdot q^2$

$10^7 = b_1 \cdot (\frac{1}{10})^2$

$10^7 = b_1 \cdot \frac{1}{100}$

$b_1 = 10^7 \cdot 100 = 10^9$

Теперь найдем первые пять членов прогрессии:

$b_1 = 10^9$

$b_2 = b_1 \cdot q = 10^9 \cdot \frac{1}{10} = 10^8$

$b_3 = b_2 \cdot q = 10^8 \cdot \frac{1}{10} = 10^7$

$b_4 = b_3 \cdot q = 10^7 \cdot \frac{1}{10} = 10^6$

$b_5 = b_4 \cdot q = 10^6 \cdot \frac{1}{10} = 10^5$

Первая возможная прогрессия: $10^9, 10^8, 10^7, 10^6, 10^5$.

Случай 2: $q = -\frac{1}{10}$

Найдем первый член прогрессии $b_1$:

$b_3 = b_1 \cdot q^2$

$10^7 = b_1 \cdot (-\frac{1}{10})^2$

$10^7 = b_1 \cdot \frac{1}{100}$

$b_1 = 10^7 \cdot 100 = 10^9$

Теперь найдем первые пять членов прогрессии:

$b_1 = 10^9$

$b_2 = b_1 \cdot q = 10^9 \cdot (-\frac{1}{10}) = -10^8$

$b_3 = b_2 \cdot q = -10^8 \cdot (-\frac{1}{10}) = 10^7$

$b_4 = b_3 \cdot q = 10^7 \cdot (-\frac{1}{10}) = -10^6$

$b_5 = b_4 \cdot q = -10^6 \cdot (-\frac{1}{10}) = 10^5$

Вторая возможная прогрессия: $10^9, -10^8, 10^7, -10^6, 10^5$.

Таким образом, у задачи два решения.

Ответ: Знаменатель прогрессии $q$ равен $\frac{1}{10}$ или $-\frac{1}{10}$.
При $q = \frac{1}{10}$ прогрессия: $10^9, 10^8, 10^7, 10^6, 10^5$.
При $q = -\frac{1}{10}$ прогрессия: $10^9, -10^8, 10^7, -10^6, 10^5$.
Всего получилось 2 решения.

---

б)

Дано два члена геометрической прогрессии $(c_n)$: $c_4 = -48$ и $c_8 = -768$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, используя формулу $c_m = c_k \cdot q^{m-k}$:

$c_8 = c_4 \cdot q^{8-4}$

$c_8 = c_4 \cdot q^4$

Подставим известные значения:

$-768 = -48 \cdot q^4$

Отсюда найдем $q^4$:

$q^4 = \frac{-768}{-48} = 16$

Уравнение $q^4 = 16$ имеет два действительных решения для $q$:

$q_1 = \sqrt[4]{16} = 2$

$q_2 = -\sqrt[4]{16} = -2$

Следовательно, задача имеет два решения. Найдем члены прогрессии с первого по шестой для каждого случая.

Случай 1: $q = 2$

Найдем первый член прогрессии $c_1$, используя $c_4$:

$c_4 = c_1 \cdot q^3$

$-48 = c_1 \cdot 2^3$

$-48 = c_1 \cdot 8$

$c_1 = \frac{-48}{8} = -6$

Выпишем члены с первого по шестой:

$c_1 = -6$

$c_2 = c_1 \cdot q = -6 \cdot 2 = -12$

$c_3 = c_2 \cdot q = -12 \cdot 2 = -24$

$c_4 = c_3 \cdot q = -24 \cdot 2 = -48$

$c_5 = c_4 \cdot q = -48 \cdot 2 = -96$

$c_6 = c_5 \cdot q = -96 \cdot 2 = -192$

Первая последовательность: $-6, -12, -24, -48, -96, -192$.

Случай 2: $q = -2$

Найдем первый член прогрессии $c_1$:

$c_4 = c_1 \cdot q^3$

$-48 = c_1 \cdot (-2)^3$

$-48 = c_1 \cdot (-8)$

$c_1 = \frac{-48}{-8} = 6$

Выпишем члены с первого по шестой:

$c_1 = 6$

$c_2 = c_1 \cdot q = 6 \cdot (-2) = -12$

$c_3 = c_2 \cdot q = -12 \cdot (-2) = 24$

$c_4 = c_3 \cdot q = 24 \cdot (-2) = -48$

$c_5 = c_4 \cdot q = -48 \cdot (-2) = 96$

$c_6 = c_5 \cdot q = 96 \cdot (-2) = -192$

Вторая последовательность: $6, -12, 24, -48, 96, -192$.

Таким образом, у задачи два решения.

Ответ: При $q=2$ члены прогрессии: $-6, -12, -24, -48, -96, -192$.
При $q=-2$ члены прогрессии: $6, -12, 24, -48, 96, -192$.
Всего получилось 2 решения.