Номер 654, страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 654, страница 255.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (654–656)

654 Дан треугольник, периметр которого равен 64 см. Середины сторон этого треугольника являются вершинами второго треугольника, середины сторон второго треугольника являются вершинами третьего треугольника и т. д. (рис. 4.13).

а) Найдите периметр восьмого треугольника.

б) Периметр какого по счёту треугольника равен 4 см?

Пусть $P_n$ — периметр n-го треугольника. По условию, периметр первого треугольника $P_1 = 64$ см.

Вершины каждого последующего треугольника (начиная со второго) являются серединами сторон предыдущего треугольника. Такой треугольник, построенный на серединах сторон, называется срединным. Каждая сторона срединного треугольника является средней линией исходного треугольника и, по свойству средней линии, равна половине параллельной ей стороны. Следовательно, периметр срединного треугольника в два раза меньше периметра исходного треугольника.

Таким образом, периметры треугольников образуют последовательность, где каждый следующий член в 2 раза меньше предыдущего: $P_2 = \frac{1}{2} P_1$, $P_3 = \frac{1}{2} P_2$, и так далее. Эта последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $b_1 = P_1 = 64$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. В нашем случае формула для периметра n-го треугольника: $P_n = 64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

а) Найдите периметр восьмого треугольника.

Для нахождения периметра восьмого треугольника ($P_8$) подставим $n=8$ в выведенную формулу: $P_8 = 64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{8-1} = 64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7$.

Представим 64 как степень двойки: $64 = 2^6$. $P_8 = 2^6 \cdot \frac{1}{2^7} = \frac{2^6}{2^7} = \frac{1}{2} = 0,5$ см.

Ответ: 0,5 см.

б) Периметр какого по счёту треугольника равен 4 см?

Нам необходимо найти номер треугольника $n$, для которого $P_n = 4$ см. Подставим известные значения в формулу: $4 = 64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

Теперь решим это уравнение относительно $n$. Разделим обе части на 64: $\frac{4}{64} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

Поскольку $16 = 2^4$, то $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$. Подставим это в уравнение: $\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $4 = n - 1$ $n = 4 + 1 = 5$.

Ответ: пятого.