Номер 657, страница 256 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 657, страница 256.

657 a) В геометрической прогрессии $(x_n)$ $x_{10} = \frac{1}{243}$, $q = \frac{1}{3}$. Найдите первый член этой прогрессии.

б) В геометрической прогрессии $(b_n)$ $b_{12} = 32$, $q = -2$. Найдите первый член этой прогрессии.

а)

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии $(x_n)$ воспользуемся формулой n-го члена: $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$, где $x_1$ — первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — номер члена.

По условию задачи нам даны десятый член прогрессии $x_{10} = \frac{1}{243}$ и знаменатель $q = \frac{1}{3}$. Требуется найти $x_1$.

Подставим известные значения в формулу для $n=10$:
$x_{10} = x_1 \cdot q^{10-1}$
$\frac{1}{243} = x_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^9$

Чтобы найти $x_1$, выразим его из этого уравнения:
$x_1 = \frac{1}{243} \div \left(\frac{1}{3}\right)^9 = \frac{1}{243} \cdot 3^9$

Заметим, что $243$ это $3$ в пятой степени, то есть $243 = 3^5$. Подставим это в выражение:
$x_1 = \frac{1}{3^5} \cdot 3^9 = \frac{3^9}{3^5} = 3^{9-5} = 3^4$

Вычисляем значение: $x_1 = 81$.

Ответ: 81.

б)

Аналогично, для нахождения первого члена геометрической прогрессии $(b_n)$ используем ту же формулу n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи нам даны двенадцатый член прогрессии $b_{12} = 32$ и знаменатель $q = -2$. Требуется найти $b_1$.

Подставим известные значения в формулу для $n=12$:
$b_{12} = b_1 \cdot q^{12-1}$
$32 = b_1 \cdot (-2)^{11}$

Вычислим $(-2)^{11}$. Так как степень нечетная, результат будет отрицательным. $2^{11} = 2048$. Следовательно, $(-2)^{11} = -2048$.
$32 = b_1 \cdot (-2048)$

Теперь выразим $b_1$:
$b_1 = \frac{32}{-2048} = -\frac{32}{2048}$

Сократим дробь. Для этого представим числитель и знаменатель как степени двойки: $32 = 2^5$ и $2048 = 2^{11}$.
$b_1 = -\frac{2^5}{2^{11}} = -2^{5-11} = -2^{-6} = -\frac{1}{2^6}$

Вычисляем значение: $b_1 = -\frac{1}{64}$.

Ответ: $-\frac{1}{64}$.