Номер 655, страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 655, страница 255.

655 Середины сторон прямоугольника соединили отрезками и получили ромб. Середины сторон ромба соединили отрезками и получили прямоугольник и т. д. (рис. 4.14). Чему равно отношение площадей двух соседних фигур (последующей и предыдущей)?

а) Какой фигурой — прямоугольником или ромбом — является восьмой по счёту четырёхугольник? Если его площадь равна $\frac{3}{4}$ $см^2$, то чему равна площадь исходного прямоугольника?

Рис. 4.13

Рис. 4.14

б) Площадь какого по счёту четырёхугольника равна $6$ $см^2$? Какая это фигура — прямоугольник или ромб?

12 см

Сначала определим, как соотносятся площади последовательных фигур. Пусть исходный прямоугольник имеет стороны $a$ и $b$. Его площадь $S_1 = ab$.

При соединении середин сторон этого прямоугольника получается ромб. Диагонали этого ромба равны сторонам прямоугольника, то есть $d_1 = a$ и $d_2 = b$. Площадь ромба ($S_2$) равна половине произведения его диагоналей:

$S_2 = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}S_1$

Далее, соединяя середины сторон ромба, мы получаем новый прямоугольник ($S_3$). Его стороны параллельны диагоналям ромба и равны их половинам, то есть стороны нового прямоугольника равны $\frac{a}{2}$ и $\frac{b}{2}$. Его площадь:

$S_3 = \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{4} = \frac{1}{2} S_2$

Таким образом, площадь каждой следующей фигуры в два раза меньше площади предыдущей. Это означает, что последовательность площадей фигур образует геометрическую прогрессию со знаменателем $q = \frac{1}{2}$. Отношение площадей двух соседних фигур (последующей и предыдущей) равно $\frac{1}{2}$.

---

а)

Определим тип восьмой фигуры. Последовательность фигур следующая:
1-я фигура — прямоугольник (нечетный номер).
2-я фигура — ромб (четный номер).
3-я фигура — прямоугольник (нечетный номер).
...
Фигуры с нечетными номерами — это прямоугольники, а с четными — ромбы. Поскольку 8 — это четное число, восьмой по счету четырехугольник является ромбом.

Теперь найдем площадь исходного прямоугольника. Площадь $n$-го члена геометрической прогрессии находится по формуле $S_n = S_1 \cdot q^{n-1}$.По условию, площадь восьмой фигуры $S_8 = \frac{3}{4}$ см², а знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

Подставим известные значения в формулу:$S_8 = S_1 \cdot (\frac{1}{2})^{8-1}$$\frac{3}{4} = S_1 \cdot (\frac{1}{2})^7$$\frac{3}{4} = S_1 \cdot \frac{1}{128}$

Выразим $S_1$:$S_1 = \frac{3}{4} \cdot 128 = 3 \cdot \frac{128}{4} = 3 \cdot 32 = 96$ см².

Ответ: восьмой четырехугольник — это ромб, а площадь исходного прямоугольника равна 96 см².

---

б)

Предположим, что в данном пункте речь идет о той же последовательности фигур, что и в пункте а), где площадь исходного прямоугольника $S_1 = 96$ см². Нам необходимо найти номер фигуры $n$, площадь которой $S_n$ равна 6 см².

Воспользуемся той же формулой геометрической прогрессии $S_n = S_1 \cdot q^{n-1}$:

$6 = 96 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

Найдем $(\frac{1}{2})^{n-1}$, разделив обе части уравнения на 96:$\frac{6}{96} = (\frac{1}{2})^{n-1}$$\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Так как $16 = 2^4$, то $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$. Получаем уравнение:$(\frac{1}{2})^4 = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Приравниваем показатели степени:$4 = n-1$$n = 5$

Итак, это пятый по счету четырехугольник. Так как номер 5 нечетный, эта фигура — прямоугольник.

Ответ: площадью 6 см² обладает пятый по счету четырехугольник, и это прямоугольник.