Номер 648, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 648, страница 253.

648 Мяч бросают вертикально вниз, и после каждого удара о землю он подскакивает на высоту, равную $ \frac{4}{5} $ предыдущей.

а) После первого удара о землю мяч подскочил на высоту, равную 250 см. На какой высоте окажется мяч после пятого удара о землю?

б) После четвёртого удара о землю мяч подскочил на высоту, равную 64 см. На какую высоту поднялся мяч после первого удара?

а) Последовательность высот отскока мяча образует геометрическую прогрессию. По условию, каждая последующая высота составляет $\frac{4}{5}$ от предыдущей, следовательно, знаменатель прогрессии $q = \frac{4}{5}$. Высота после первого удара, обозначим ее $h_1$, равна 250 см.

Чтобы найти высоту после пятого удара ($h_5$), используем формулу $n$-го члена геометрической прогрессии: $h_n = h_1 \cdot q^{n-1}$.

Для $n=5$, формула выглядит так: $h_5 = h_1 \cdot q^{5-1} = h_1 \cdot q^4$.

Подставим известные значения:

$h_5 = 250 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^4 = 250 \cdot \frac{4^4}{5^4} = 250 \cdot \frac{256}{625}$

Выполним вычисления:

$h_5 = \frac{250 \cdot 256}{625} = \frac{(2 \cdot 125) \cdot 256}{5 \cdot 125} = \frac{2 \cdot 256}{5} = \frac{512}{5} = 102,4$ см.

Ответ: 102,4 см.

б) В этой задаче используется та же модель геометрической прогрессии со знаменателем $q = \frac{4}{5}$. Нам известна высота после четвёртого удара, $h_4 = 64$ см. Требуется найти высоту после первого удара, $h_1$.

Используем формулу $n$-го члена прогрессии: $h_n = h_1 \cdot q^{n-1}$. При $n=4$ имеем:

$h_4 = h_1 \cdot q^{4-1} = h_1 \cdot q^3$

Подставим известные значения в уравнение:

$64 = h_1 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^3 = h_1 \cdot \frac{64}{125}$

Выразим $h_1$ из этого уравнения:

$h_1 = 64 \div \frac{64}{125} = 64 \cdot \frac{125}{64} = 125$ см.

Ответ: 125 см.