Страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (646–648)

646 Фирма, выпускающая игрушки, начала изготовлять для детей набор столярных инструментов, который стал пользоваться популярностью у покупателей. В первый год фирма выпустила 2000 наборов, а в каждый следующий год число выпущенных наборов увеличивалось в 1,5 раза по сравнению с предыдущим. Сколько наборов было выпущено в течение пятого года?

646. Данная задача описывает процесс, который можно смоделировать с помощью геометрической прогрессии. Количество наборов, выпускаемых каждый год, представляет собой последовательные члены этой прогрессии.

Первый член прогрессии ($b_1$) — это количество наборов, выпущенных в первый год. По условию, $b_1 = 2000$.
Знаменатель прогрессии ($q$) — это коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличивается производство каждый год. По условию, $q = 1,5$.

Нам необходимо найти количество наборов, выпущенных в течение пятого года. Это соответствует пятому члену геометрической прогрессии ($b_5$).

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Подставим в формулу известные значения для нахождения $b_5$ (при $n=5$):
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$
$b_5 = 2000 \cdot (1,5)^4$

Выполним вычисления:
Сначала возведем 1,5 в 4-ю степень:
$(1,5)^4 = 1,5 \cdot 1,5 \cdot 1,5 \cdot 1,5 = 2,25 \cdot 2,25 = 5,0625$
Теперь умножим полученное значение на количество наборов в первый год:
$b_5 = 2000 \cdot 5,0625 = 10125$

Таким образом, в течение пятого года было выпущено 10125 наборов.

Ответ: 10125 наборов.

647 Вернитесь к задаче о колонии бактерий (см. фрагмент 2).

а) Пусть численность первого поколения бактерий составляла 300 единиц. Определите численность десятого поколения бактерий.

б) Численность шестого поколения бактерий составила 12 800 единиц. Какова была численность колонии бактерий первого поколения?

Поскольку в условии задачи есть ссылка на "фрагмент 2", который не предоставлен, решение будет основано на наиболее вероятной модели роста колонии бактерий. Обычно предполагается, что каждая бактерия делится на две, создавая новое поколение. Это означает, что численность бактерий в каждом последующем поколении удваивается. Таким образом, мы имеем дело с геометрической прогрессией, знаменатель которой $q = 2$.

Формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — численность первого поколения, $b_n$ — численность n-го поколения, а $q$ — знаменатель прогрессии.

а) По условию, численность первого поколения бактерий составляла $b_1 = 300$ единиц. Нам необходимо определить численность десятого поколения, $b_{10}$.

Применяя формулу n-го члена для $n = 10$ и известных нам $b_1 = 300$ и $q = 2$, получаем:

$b_{10} = b_1 \cdot q^{10-1} = 300 \cdot 2^9$

Сначала вычислим значение степени: $2^9 = 512$.

Теперь можем найти итоговую численность:

$b_{10} = 300 \cdot 512 = 153600$

Ответ: численность десятого поколения бактерий составит 153 600 единиц.

б) По условию, численность шестого поколения бактерий составила $b_6 = 12800$ единиц. Нам необходимо найти, какова была численность колонии бактерий первого поколения, то есть $b_1$.

Применяя формулу n-го члена для $n = 6$ и известных нам $b_6 = 12800$ и $q = 2$, получаем:

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1}$

$12800 = b_1 \cdot 2^5$

Сначала вычислим значение степени: $2^5 = 32$.

Подставим это значение в уравнение:

$12800 = b_1 \cdot 32$

Теперь найдем $b_1$, разделив обе части уравнения на 32:

$b_1 = \frac{12800}{32} = 400$

Ответ: численность колонии бактерий первого поколения была 400 единиц.

648 Мяч бросают вертикально вниз, и после каждого удара о землю он подскакивает на высоту, равную $ \frac{4}{5} $ предыдущей.

а) После первого удара о землю мяч подскочил на высоту, равную 250 см. На какой высоте окажется мяч после пятого удара о землю?

б) После четвёртого удара о землю мяч подскочил на высоту, равную 64 см. На какую высоту поднялся мяч после первого удара?

а) Последовательность высот отскока мяча образует геометрическую прогрессию. По условию, каждая последующая высота составляет $\frac{4}{5}$ от предыдущей, следовательно, знаменатель прогрессии $q = \frac{4}{5}$. Высота после первого удара, обозначим ее $h_1$, равна 250 см.

Чтобы найти высоту после пятого удара ($h_5$), используем формулу $n$-го члена геометрической прогрессии: $h_n = h_1 \cdot q^{n-1}$.

Для $n=5$, формула выглядит так: $h_5 = h_1 \cdot q^{5-1} = h_1 \cdot q^4$.

Подставим известные значения:

$h_5 = 250 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^4 = 250 \cdot \frac{4^4}{5^4} = 250 \cdot \frac{256}{625}$

Выполним вычисления:

$h_5 = \frac{250 \cdot 256}{625} = \frac{(2 \cdot 125) \cdot 256}{5 \cdot 125} = \frac{2 \cdot 256}{5} = \frac{512}{5} = 102,4$ см.

Ответ: 102,4 см.

б) В этой задаче используется та же модель геометрической прогрессии со знаменателем $q = \frac{4}{5}$. Нам известна высота после четвёртого удара, $h_4 = 64$ см. Требуется найти высоту после первого удара, $h_1$.

Используем формулу $n$-го члена прогрессии: $h_n = h_1 \cdot q^{n-1}$. При $n=4$ имеем:

$h_4 = h_1 \cdot q^{4-1} = h_1 \cdot q^3$

Подставим известные значения в уравнение:

$64 = h_1 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^3 = h_1 \cdot \frac{64}{125}$

Выразим $h_1$ из этого уравнения:

$h_1 = 64 \div \frac{64}{125} = 64 \cdot \frac{125}{64} = 125$ см.

Ответ: 125 см.

649 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Ученик начальной школы решил в течение декабря копить деньги к Новому году. Действовать он решил следующим образом: 1 декабря положить в копилку 1 к., 2 декабря — 2 к., 3 декабря — 4 к. и т. д., ежедневно удваивая вкладываемую сумму.

1) Сможет ли он выполнить своё намерение? Сколько рублей ему пришлось бы положить в копилку 31 декабря?

2) Сколько рублей ему придётся положить в копилку 31 декабря, если он изменит свой план и будет ежедневно увеличивать вкладываемую сумму на 10 к.?

1) Сможет ли он выполнить своё намерение? Сколько рублей ему пришлось бы положить в копилку 31 декабря?

Первоначальный план ученика представляет собой геометрическую прогрессию, так как каждый день вкладываемая сумма умножается на одно и то же число (2). Сумма, которую нужно положить в копилку в n-й день декабря, вычисляется по формуле n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. В данном случае первый член прогрессии $b_1$ (сумма в первый день, 1 декабря) равен 1 копейке, а знаменатель прогрессии $q$ равен 2. Нам нужно найти сумму для 31 декабря, то есть 31-й член прогрессии ($n=31$).

Подставим значения в формулу:
$b_{31} = 1 \cdot 2^{31-1} = 2^{30}$ копеек.

Вычислим это значение:
$2^{10} = 1024$
$2^{30} = (2^{10})^3 = 1024^3 = 1 073 741 824$ копеек.

Теперь переведём эту сумму в рубли, зная, что в 1 рубле 100 копеек:
$1 073 741 824 \text{ к.} = \frac{1 073 741 824}{100} = 10 737 418,24$ рублей.

Сумма в 10 737 418,24 рублей (более десяти миллионов рублей) является нереалистичной для ученика начальной школы. Следовательно, выполнить своё намерение он не сможет.

Ответ: Нет, ученик не сможет выполнить своё намерение, так как 31 декабря ему пришлось бы положить в копилку 10 737 418,24 рублей.

2) Сколько рублей ему придётся положить в копилку 31 декабря, если он изменит свой план и будет ежедневно увеличивать вкладываемую сумму на 10 к.?

Изменённый план представляет собой арифметическую прогрессию, так как каждый день сумма вклада увеличивается на одну и ту же величину (10 копеек). Сумма, которую нужно положить в n-й день, вычисляется по формуле n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Здесь первый член $a_1$ (сумма 1 декабря) равен 1 копейке, а разность прогрессии $d$ равна 10 копейкам. Нам нужно найти сумму для 31 декабря ($n=31$).

Подставим значения в формулу:
$a_{31} = 1 + (31-1) \cdot 10 = 1 + 30 \cdot 10 = 1 + 300 = 301$ копейка.

Переведём эту сумму в рубли:
$301 \text{ к.} = \frac{301}{100} = 3,01$ рубля.

Ответ: 3,01 рубля.

МОДЕЛИРУЕМ (650–651)

650 Три фирмы А, В и С одновременно начали свою деятельность, и в первый год каждая из них получила доход 5 млн р. В последующие пять лет их доход рос так: в фирме А доход ежегодно увеличивался на 1 млн р.; в фирме В доход ежегодно возрастал в 1,8 раза; в фирме С доход ежегодно увеличивался в 1,5 раза. Какой из графиков соответствует каждой из этих ситуаций (рис. 4.11)? Для каждой из этих последовательностей запишите формулу n-го члена.

Рис. 4.11

y

Доход фирмы, млн р.

Год

651 Маятник, раскачиваясь, прошёл сначала расстояние, равное 50 см (рис. 4.12), а затем в каждое следующее движение — расстояние, составляющее 80% от пре-

Для решения задачи проанализируем рост дохода каждой фирмы отдельно. Пусть $n$ — номер года, а доход фирмы в $n$-ом году обозначим $y_n$ (в млн р.). По условию, доход каждой из фирм в первый год ($n=1$) составил 5 млн р., то есть $y_1 = 5$ для всех трех случаев.

Фирма А

Доход этой фирмы ежегодно увеличивался на постоянную величину в 1 млн р. Это означает, что последовательность годовых доходов является арифметической прогрессией. Первый член этой прогрессии $a_1 = 5$, а ее разность $d = 1$. Формула n-го члена для арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим значения для фирмы А:
$a_n = 5 + (n-1) \cdot 1 = 5 + n - 1 = n + 4$.
Полученная зависимость является линейной. Рост дохода постоянный, что на графике соответствует самому медленному увеличению. Этому описанию соответствует график (3). Проверим точку для $n=6$: $a_6 = 6 + 4 = 10$. На графике (3) в точке $n=6$ значение дохода равно 10, что подтверждает наш вывод.

Ответ: фирме А соответствует график (3), формула n-го члена: $a_n = n + 4$.

Фирма В

Доход этой фирмы ежегодно возрастал в 1,8 раза. Это означает, что последовательность годовых доходов является геометрической прогрессией. Первый член прогрессии $b_1 = 5$, а ее знаменатель $q = 1,8$. Формула n-го члена для геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим значения для фирмы B:
$b_n = 5 \cdot 1,8^{n-1}$.
Это экспоненциальный рост. Поскольку знаменатель прогрессии $q = 1,8$ является наибольшим среди всех фирм, рост дохода будет самым быстрым. На рисунке этому соответствует самый крутой график — график (1). Проверим точку для $n=6$: $b_6 = 5 \cdot 1,8^{6-1} = 5 \cdot 1,8^5 = 5 \cdot 18,89568 \approx 94,48$. На графике (1) в точке $n=6$ значение дохода приблизительно равно 95, что соответствует расчетному.

Ответ: фирме В соответствует график (1), формула n-го члена: $b_n = 5 \cdot 1,8^{n-1}$.

Фирма С

Доход этой фирмы ежегодно увеличивался в 1,5 раза, что также описывается геометрической прогрессией. Первый член прогрессии $c_1 = 5$, а ее знаменатель $q = 1,5$. Формула n-го члена: $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим значения для фирмы C:
$c_n = 5 \cdot 1,5^{n-1}$.
Рост также является экспоненциальным. Так как знаменатель $q=1,5$ больше, чем 1, но меньше, чем у фирмы В ($1,5 < 1,8$), то график роста дохода этой фирмы будет располагаться между графиками для фирм А и В. Этому условию соответствует график (2). Проверим точку для $n=6$: $c_6 = 5 \cdot 1,5^{6-1} = 5 \cdot 1,5^5 = 5 \cdot 7,59375 \approx 37,97$. На графике (2) в точке $n=6$ значение дохода приблизительно равно 38, что совпадает с расчетами.

Ответ: фирме С соответствует график (2), формула n-го члена: $c_n = 5 \cdot 1,5^{n-1}$.