Страница 257 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

РАССУЖДАЕМ (660–662)

660 а) Между числами $3$ и $27$ вставьте три числа так, чтобы вместе с данными они образовывали геометрическую прогрессию.

б) Между числами $0,2$ и $12,8$ вставьте два числа так, чтобы вместе с данными числами они образовывали геометрическую прогрессию.

а) Пусть искомые числа вместе с данными образуют геометрическую прогрессию $(b_n)$.
В этой прогрессии первый член $b_1 = 3$.
Так как между числами 3 и 27 нужно вставить три числа, то всего в прогрессии будет $1 + 3 + 1 = 5$ членов. Значит, число 27 является пятым членом прогрессии, то есть $b_5 = 27$.
Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ – знаменатель прогрессии.
Подставим известные значения в формулу для $n=5$:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$
$27 = 3 \cdot q^4$
Разделим обе части уравнения на 3:
$q^4 = \frac{27}{3}$
$q^4 = 9$
Это уравнение имеет два действительных решения для $q$: $q^2 = 3$, откуда $q = \sqrt{3}$ или $q = -\sqrt{3}$.
Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: Знаменатель прогрессии $q = \sqrt{3}$.
Найдём вставляемые числа, которые являются вторым, третьим и четвертым членами прогрессии:
$b_2 = b_1 \cdot q = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
$b_3 = b_2 \cdot q = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9$
$b_4 = b_3 \cdot q = 9 \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$
Проверим пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9 \cdot 3 = 27$. Всё верно.
Таким образом, одна последовательность вставляемых чисел: $3\sqrt{3}, 9, 9\sqrt{3}$.

Случай 2: Знаменатель прогрессии $q = -\sqrt{3}$.
Найдём вставляемые числа:
$b_2 = b_1 \cdot q = 3 \cdot (-\sqrt{3}) = -3\sqrt{3}$
$b_3 = b_2 \cdot q = -3\sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = 3 \cdot 3 = 9$
$b_4 = b_3 \cdot q = 9 \cdot (-\sqrt{3}) = -9\sqrt{3}$
Проверим пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = -9\sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = 9 \cdot 3 = 27$. Всё верно.
Таким образом, вторая последовательность вставляемых чисел: $-3\sqrt{3}, 9, -9\sqrt{3}$.

Ответ: $3\sqrt{3}, 9, 9\sqrt{3}$ или $-3\sqrt{3}, 9, -9\sqrt{3}$.

б) Пусть искомые числа вместе с данными образуют геометрическую прогрессию $(b_n)$.
Первый член этой прогрессии $b_1 = 0,2$.
Между числами 0,2 и 12,8 нужно вставить два числа, значит, всего в прогрессии будет $1 + 2 + 1 = 4$ члена. Число 12,8 является четвертым членом прогрессии, $b_4 = 12,8$.
Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
При $n=4$ имеем:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1}$
$12,8 = 0,2 \cdot q^3$
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q^3 = \frac{12,8}{0,2} = \frac{128}{2} = 64$
$q = \sqrt[3]{64} = 4$
Теперь найдем два вставляемых числа, которые являются вторым и третьим членами прогрессии:
$b_2 = b_1 \cdot q = 0,2 \cdot 4 = 0,8$
$b_3 = b_2 \cdot q = 0,8 \cdot 4 = 3,2$
Проверим четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = 3,2 \cdot 4 = 12,8$. Всё верно.

Ответ: $0,8$ и $3,2$.

661 Является ли арифметической или геометрической прогрессией последовательность:

а) $x$; $x^2$; $x^3$; $x^4$; $x^5$; ..., где $x \neq 0$;

б) $x$; $x + 1$; $x + 2$; $x + 3$; $x + 4$; ...

в) $x$; $2x$; $3x$; $4x$; $5x$; ...

г) $x$; $ax$; $a^2x$; $a^3x$; $a^4x$; ..., где $x \neq 0$ и $a \neq 0$?

а) $x; x^2; x^3; x^4; x^5; ...$, где $x \neq 0$

Для определения типа прогрессии, необходимо проверить, является ли разность или отношение между последовательными членами постоянной величиной.

1. Проверка на арифметическую прогрессию.Найдем разность $d$ между соседними членами:
$d_1 = x^2 - x = x(x-1)$
$d_2 = x^3 - x^2 = x^2(x-1)$
Для того, чтобы последовательность была арифметической прогрессией, необходимо, чтобы $d_1 = d_2$.
$x(x-1) = x^2(x-1)$
$x(x-1) - x^2(x-1) = 0$
$(x-x^2)(x-1) = 0$
$x(1-x)(x-1) = 0$
$-x(x-1)^2 = 0$
Это равенство истинно при $x=0$ или $x=1$. По условию задачи $x \neq 0$. Следовательно, последовательность является арифметической только при $x=1$. В этом случае все члены последовательности равны 1, а разность $d=0$.

2. Проверка на геометрическую прогрессию.Найдем отношение $q$ (знаменатель прогрессии) соседних членов:
$q_1 = \frac{x^2}{x} = x$
$q_2 = \frac{x^3}{x^2} = x$
Отношение соседних членов постоянно и равно $x$. Поскольку $x \neq 0$, знаменатель прогрессии $q=x$ существует и не равен нулю.
Таким образом, данная последовательность является геометрической прогрессией для любого значения $x \neq 0$.

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=x$. В частном случае при $x=1$ она также является и арифметической прогрессией с разностью $d=0$.

б) $x; x + 1; x + 2; x + 3; x + 4; ...$

1. Проверка на арифметическую прогрессию.Найдем разность $d$ между соседними членами:
$d_1 = (x+1) - x = 1$
$d_2 = (x+2) - (x+1) = 1$
$d_3 = (x+3) - (x+2) = 1$
Разность между любыми двумя соседними членами постоянна и равна 1. Следовательно, это арифметическая прогрессия с разностью $d=1$.

2. Проверка на геометрическую прогрессию.Найдем отношение $q$ соседних членов:
$q_1 = \frac{x+1}{x}$
$q_2 = \frac{x+2}{x+1}$
Для того, чтобы последовательность была геометрической, необходимо, чтобы $q_1 = q_2$ (при условии $x \neq 0$ и $x \neq -1$).
$\frac{x+1}{x} = \frac{x+2}{x+1}$
$(x+1)^2 = x(x+2)$
$x^2 + 2x + 1 = x^2 + 2x$
$1 = 0$
Полученное равенство ложно. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором данная последовательность была бы геометрической.

Ответ: последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=1$.

в) $x; 2x; 3x; 4x; 5x; ...$

1. Проверка на арифметическую прогрессию.Найдем разность $d$ между соседними членами:
$d_1 = 2x - x = x$
$d_2 = 3x - 2x = x$
$d_3 = 4x - 3x = x$
Разность между любыми двумя соседними членами постоянна и равна $x$. Следовательно, это арифметическая прогрессия с разностью $d=x$ для любого значения $x$.

2. Проверка на геометрическую прогрессию.Найдем отношение $q$ соседних членов (предполагая $x \neq 0$):
$q_1 = \frac{2x}{x} = 2$
$q_2 = \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$
Поскольку $q_1 \neq q_2$ ($2 \neq \frac{3}{2}$), последовательность не является геометрической, если $x \neq 0$. Если $x=0$, то последовательность состоит из нулей ($0; 0; 0; ...$). Такая последовательность является арифметической ($d=0$), но не геометрической в строгом смысле, так как ее знаменатель $q = 0/0$ не определен.

Ответ: последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=x$.

г) $x; ax; a^2x; a^3x; a^4x; ...$, где $x \neq 0$ и $a \neq 0$

1. Проверка на арифметическую прогрессию.Найдем разность $d$ между соседними членами:
$d_1 = ax - x = x(a-1)$
$d_2 = a^2x - ax = ax(a-1)$
Для того, чтобы последовательность была арифметической, необходимо, чтобы $d_1 = d_2$.
$x(a-1) = ax(a-1)$
Поскольку $x \neq 0$, можно разделить обе части уравнения на $x$:
$a-1 = a(a-1)$
$a(a-1) - (a-1) = 0$
$(a-1)(a-1) = (a-1)^2 = 0$
Это равенство истинно только при $a=1$. Если $a=1$, последовательность принимает вид $x; x; x; ...$, что является арифметической прогрессией с разностью $d=0$.

2. Проверка на геометрическую прогрессию.Найдем отношение $q$ соседних членов:
$q_1 = \frac{ax}{x} = a$
$q_2 = \frac{a^2x}{ax} = a$
Отношение соседних членов постоянно и равно $a$. По условию $x \neq 0$ и $a \neq 0$, поэтому все члены последовательности отличны от нуля, а знаменатель прогрессии $q=a$ существует и не равен нулю.
Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией для любых заданных $x$ и $a$.

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=a$. В частном случае при $a=1$ она также является и арифметической прогрессией с разностью $d=0$.

662 Пусть последовательность $(b_n)$ — геометрическая прогрессия.

Является ли геометрической прогрессией последовательность,которая получится, если:

а) к каждому члену последовательности $(b_n)$ прибавить одно ито же не равное нулю число;

б) каждый член последовательности $(b_n)$ умножить на одно ито же не равное нулю число?

а) к каждому члену последовательности $(b_n)$ прибавить одно и то же не равное нулю число;
Пусть $(b_n)$ — заданная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. По определению, $b_{n+1} = b_n \cdot q$ для любого натурального $n$.
Пусть $d$ — это не равное нулю число, которое прибавляется к каждому члену последовательности $(b_n)$. Новая последовательность $(c_n)$ задается формулой $c_n = b_n + d$.
Для того чтобы последовательность $(c_n)$ была геометрической прогрессией, необходимо, чтобы отношение любого ее члена к предыдущему было постоянной величиной. Проверим это отношение:
$ \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{n+1} + d}{b_n + d} = \frac{b_n \cdot q + d}{b_n + d} $
Это выражение зависит от $b_n$, а значит, и от номера члена $n$. Следовательно, в общем случае это отношение не является постоянным, и последовательность $(c_n)$ не является геометрической прогрессией.
Исключением является случай, когда знаменатель исходной прогрессии $q=1$. В этом случае $(b_n)$ — это постоянная последовательность, и $(c_n)$ также будет постоянной последовательностью, а значит, и геометрической прогрессией со знаменателем 1 (при условии, что ее члены не равны нулю).
Поскольку это выполняется не для любой геометрической прогрессии, а лишь в частном случае, общий ответ — нет.
Пример: Пусть дана прогрессия $2, 6, 18, ...$ ($b_1 = 2, q=3$). Прибавим число $d=4$. Новая последовательность $(c_n)$ будет $6, 10, 22, ...$.
Проверим отношения: $\frac{c_2}{c_1} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ и $\frac{c_3}{c_2} = \frac{22}{10} = \frac{11}{5}$. Так как $\frac{5}{3} \neq \frac{11}{5}$, последовательность не является геометрической прогрессией.
Ответ: нет, в общем случае не является.

б) каждый член последовательности $(b_n)$ умножить на одно и то же не равное нулю число?
Пусть $(b_n)$ — заданная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$.
Пусть $k$ — это не равное нулю число, на которое умножается каждый член последовательности. Новая последовательность $(c_n)$ задается формулой $c_n = k \cdot b_n$.
Проверим, является ли $(c_n)$ геометрической прогрессией, найдя отношение ее $(n+1)$-го члена к $n$-му члену:
$ \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{k \cdot b_{n+1}}{k \cdot b_n} $
Так как по условию $k \neq 0$, мы можем его сократить:
$ \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{n+1}}{b_n} $
Поскольку $(b_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q$, то $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$ для любого натурального $n$.
Следовательно, $\frac{c_{n+1}}{c_n} = q$.
Это означает, что отношение любого члена последовательности $(c_n)$ к предыдущему является постоянной величиной, равной $q$. Таким образом, последовательность $(c_n)$ является геометрической прогрессией с первым членом $c_1 = k \cdot b_1$ и тем же знаменателем $q$.
Ответ: да, является.

663 Исследуем

1) Рассмотрите геометрическую прогрессию

3; 6; 12; 24; 48; ... .

Возьмите любой член этой прогрессии и убедитесь в том, что он равен среднему геометрическому двух соседних членов. (Напомним, что среднее геометрическое двух положительных чисел $a$ и $b$ равно $\sqrt{ab}$.)

2) Пусть последовательность $(b_n)$ — геометрическая прогрессия, членами которой являются положительные числа. Докажите, что любой член, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов.

3) Найдите члены последовательности, обозначенные буквами, если известно, что эта последовательность — геометрическая прогрессия, в которой $q > 0$:

a) $b_1$; 6; $b_3$; 54; $b_5$; $b_6$; ...;

б) 9; $b_2$; 27; ...; $b_6$; 243; $b_8$; ... .

1)

Рассмотрим заданную геометрическую прогрессию: 3; 6; 12; 24; 48; ...

Это геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = 3$ и знаменателем $q = 6 / 3 = 2$.

Возьмем любой член этой прогрессии, например, $b_3 = 12$. Соседние с ним члены — это $b_2 = 6$ и $b_4 = 24$.

Найдем среднее геометрическое этих двух соседних членов по формуле $\sqrt{ab}$:

$\sqrt{b_2 \cdot b_4} = \sqrt{6 \cdot 24} = \sqrt{144} = 12$.

Результат совпадает со значением члена $b_3$.

Проверим для другого члена, например, $b_2 = 6$. Его соседние члены — $b_1 = 3$ и $b_3 = 12$.

$\sqrt{b_1 \cdot b_3} = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6$.

Результат совпадает со значением члена $b_2$. Таким образом, мы убедились, что любой член этой прогрессии равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов.

Ответ: Утверждение верно, например, $12 = \sqrt{6 \cdot 24}$.

2)

Пусть $(b_n)$ — геометрическая прогрессия с положительными членами и знаменателем $q$.

Докажем, что любой член прогрессии $b_n$ (при $n \geq 2$) равен среднему геометрическому его соседних членов, $b_{n-1}$ и $b_{n+1}$.

По определению геометрической прогрессии, мы можем выразить соседние члены через $b_n$:

$b_{n-1} = b_n / q$

$b_{n+1} = b_n \cdot q$

Найдем среднее геометрическое $b_{n-1}$ и $b_{n+1}$:

$\sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}} = \sqrt{\frac{b_n}{q} \cdot (b_n \cdot q)} = \sqrt{b_n^2}$.

Так как по условию все члены прогрессии $(b_n)$ положительны ($b_n > 0$), то $\sqrt{b_n^2} = b_n$.

Следовательно, $b_n = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что любой член геометрической прогрессии с положительными членами, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов.

3)

а) Дана последовательность: $b_1; 6; b_3; 54; b_5; b_6; ...$

Известно, что это геометрическая прогрессия с $b_2 = 6$ и $b_4 = 54$.

Воспользуемся формулой $n$-го члена $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$. Для $n=4$ и $k=2$ имеем:

$b_4 = b_2 \cdot q^{4-2} \Rightarrow 54 = 6 \cdot q^2$.

Отсюда находим $q^2 = \frac{54}{6} = 9$.

По условию $q > 0$, значит $q = \sqrt{9} = 3$.

Теперь найдем неизвестные члены:

$b_1 = b_2 / q = 6 / 3 = 2$

$b_3 = b_2 \cdot q = 6 \cdot 3 = 18$

$b_5 = b_4 \cdot q = 54 \cdot 3 = 162$

$b_6 = b_5 \cdot q = 162 \cdot 3 = 486$

Ответ: $b_1 = 2, b_3 = 18, b_5 = 162, b_6 = 486$.

б) Дана последовательность: $9; b_2; 27; ...; b_6; 243; b_8; ...$

Из данной записи следует, что $b_1 = 9$, $b_3 = 27$ и $b_7 = 243$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, используя $b_1$ и $b_3$:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} \Rightarrow 27 = 9 \cdot q^2$.

Отсюда $q^2 = \frac{27}{9} = 3$.

Так как $q > 0$, то $q = \sqrt{3}$.

Проверим это значение $q$ с членом $b_7=243$: $b_7 = b_1 \cdot q^{6} = 9 \cdot (\sqrt{3})^6 = 9 \cdot 3^3 = 9 \cdot 27 = 243$. Расчет верен.

Теперь найдем неизвестные члены:

$b_2 = b_1 \cdot q = 9 \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$

$b_6 = b_1 \cdot q^{5} = 9 \cdot (\sqrt{3})^5 = 9 \cdot (\sqrt{3})^4 \cdot \sqrt{3} = 9 \cdot 9 \cdot \sqrt{3} = 81\sqrt{3}$

$b_8 = b_7 \cdot q = 243 \cdot \sqrt{3} = 243\sqrt{3}$

Ответ: $b_2 = 9\sqrt{3}, b_6 = 81\sqrt{3}, b_8 = 243\sqrt{3}$.