Страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

681 a) Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии ($b_n$), если известно два её члена: $b_2 = -8$ и $b_8 = -\frac{1}{8}$.

б) Известно два члена геометрической прогрессии ($b_n$): $b_3 = 2$, $b_6 = -54$. Найдите $S_6$.

а)

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, в которой известны два члена: $b_2 = -8$ и $b_8 = -{1 \over 8}$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ – первый член прогрессии, а $q$ – её знаменатель.

На основе этой формулы и данных задачи составим систему уравнений:

$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q = -8$

$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = b_1 \cdot q^7 = -{1 \over 8}$

Для нахождения знаменателя $q$, разделим второе уравнение на первое:

${b_1 \cdot q^7 \over b_1 \cdot q} = { -{1 \over 8} \over -8 }$

$q^6 = {1 \over 64}$

Так как показатель степени 6 является четным числом, это уравнение имеет два действительных корня для $q$:

$q_1 = \sqrt[6]{1 \over 64} = {1 \over 2}$ и $q_2 = -\sqrt[6]{1 \over 64} = -{1 \over 2}$.

Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: $q = {1 \over 2}$

Найдем $b_1$ из первого уравнения: $b_1 \cdot q = -8$.

$b_1 \cdot {1 \over 2} = -8 \Rightarrow b_1 = -16$.

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = {b_1(q^n - 1) \over q - 1}$.

Вычислим сумму первых восьми членов $S_8$:

$S_8 = {-16 \cdot (({1 \over 2})^8 - 1) \over {1 \over 2} - 1} = {-16 \cdot ({1 \over 256} - 1) \over -{1 \over 2}} = { -16 \cdot (-{255 \over 256}) \over -{1 \over 2} } = { {255 \over 16} \over -{1 \over 2} } = -{255 \over 16} \cdot 2 = -{255 \over 8}$.

Случай 2: $q = -{1 \over 2}$

Найдем $b_1$ из первого уравнения: $b_1 \cdot q = -8$.

$b_1 \cdot (-{1 \over 2}) = -8 \Rightarrow b_1 = 16$.

Вычислим сумму первых восьми членов $S_8$:

$S_8 = {16 \cdot ((-{1 \over 2})^8 - 1) \over -{1 \over 2} - 1} = {16 \cdot ({1 \over 256} - 1) \over -{3 \over 2}} = { 16 \cdot (-{255 \over 256}) \over -{3 \over 2} } = { {255 \over 16} \over {3 \over 2} } = {255 \over 16} \cdot {2 \over 3} = {85 \over 8}$.

Поскольку оба найденных набора параметров $(b_1, q)$ удовлетворяют исходным условиям, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $S_8 = -{255 \over 8}$ или $S_8 = {85 \over 8}$.

б)

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, в которой известны два члена: $b_3 = 2$ и $b_6 = -54$. Необходимо найти $S_6$.

Используем формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ и составим систему уравнений:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2 = 2$

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5 = -54$

Разделим второе уравнение на первое, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$:

${b_1 \cdot q^5 \over b_1 \cdot q^2} = {-54 \over 2}$

$q^3 = -27$

Отсюда находим единственное действительное значение знаменателя: $q = \sqrt[3]{-27} = -3$.

Теперь найдем первый член $b_1$ из уравнения $b_1 \cdot q^2 = 2$:

$b_1 \cdot (-3)^2 = 2$

$b_1 \cdot 9 = 2$

$b_1 = {2 \over 9}$

Найдем сумму первых шести членов $S_6$ по формуле $S_n = {b_1(q^n - 1) \over q - 1}$:

$S_6 = {{2 \over 9} \cdot ((-3)^6 - 1) \over -3 - 1} = {{2 \over 9} \cdot (729 - 1) \over -4} = {{2 \over 9} \cdot 728 \over -4} = {2 \cdot 728 \over 9 \cdot (-4)} = -{728 \over 18} = -{364 \over 9}$.

Ответ: $S_6 = -{364 \over 9}$.

Ищем способ решения (682–683)

682 Упростите выражение:

а) $x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + \ldots + x^{50}$, где $x \neq 0$ и $x \neq 1$;

б) $x + 2x + 3x + 4x + 5x + \ldots + 100x$;

в) $x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + x^{10} + \ldots + x^{100}$, где $x \neq 0$ и $x \neq \pm 1$;

г) $x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot x^4 \cdot x^5 \cdot \ldots \cdot x^{50}$.

Подсказка. В каждом случае найдите геометрическую или арифметическую прогрессию.

а)

Данное выражение $x + x^2 + x^3 + ... + x^{50}$ представляет собой сумму членов геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = x$. Чтобы найти знаменатель прогрессии $q$, разделим второй член на первый: $q = \frac{x^2}{x} = x$.

Количество членов в этой прогрессии равно степени последнего члена, то есть $n=50$.

Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Условие $x \neq 1$ гарантирует, что знаменатель не равен нулю.

Подставляя наши значения $b_1 = x$, $q = x$ и $n = 50$, получаем:

$S_{50} = \frac{x(x^{50} - 1)}{x - 1}$

Ответ: $\frac{x(x^{50} - 1)}{x - 1}$

б)

В выражении $x + 2x + 3x + ... + 100x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(1 + 2 + 3 + ... + 100)$

В скобках находится сумма первых 100 натуральных чисел, которая является суммой арифметической прогрессии. Первый член этой прогрессии $a_1 = 1$, последний член $a_{100} = 100$, а количество членов $n = 100$.

Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$:

$S_{100} = \frac{(1 + 100) \cdot 100}{2} = \frac{101 \cdot 100}{2} = 101 \cdot 50 = 5050$

Теперь умножим полученную сумму на вынесенный за скобки $x$:

$5050 \cdot x = 5050x$

Ответ: $5050x$

в)

Выражение $x^2 + x^4 + x^6 + ... + x^{100}$ является суммой членов геометрической прогрессии. Первый член $b_1 = x^2$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{x^4}{x^2} = x^2$.

Чтобы найти количество членов $n$, воспользуемся формулой $n$-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Последний член $b_n = x^{100}$.

$x^{100} = x^2 \cdot (x^2)^{n-1} = x^2 \cdot x^{2n-2} = x^{2n}$

Из равенства показателей степеней получаем $100 = 2n$, откуда $n=50$.

Применим формулу суммы геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Условие $x \neq \pm 1$ гарантирует, что $q = x^2 \neq 1$ и знаменатель не равен нулю.

Подставим наши значения $b_1 = x^2$, $q = x^2$ и $n = 50$:

$S_{50} = \frac{x^2((x^2)^{50} - 1)}{x^2 - 1} = \frac{x^2(x^{100} - 1)}{x^2 - 1}$

Ответ: $\frac{x^2(x^{100} - 1)}{x^2 - 1}$

г)

В выражении $x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot ... \cdot x^{50}$ мы имеем произведение степеней с одинаковым основанием. По свойству степеней, при умножении показатели складываются:

$x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot ... \cdot x^{50} = x^{1+2+3+...+50}$

Показатель степени — это сумма арифметической прогрессии от 1 до 50. Здесь первый член $a_1 = 1$, последний член $a_{50} = 50$, количество членов $n = 50$.

Найдем эту сумму по формуле $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$:

$S_{50} = \frac{(1 + 50) \cdot 50}{2} = \frac{51 \cdot 50}{2} = 51 \cdot 25 = 1275$

Таким образом, исходное выражение упрощается до:

$x^{1275}$

Ответ: $x^{1275}$

683 Найдите значение выражения:

а) $100 + 100x + 100x^2 + 100x^3 + 100x^4$ при $x = 1,1;$

б) $10 - 10x + 10x^2 - 10x^3 + 10x^4 - 10x^5$ при $x = 0,3.$

а) Найдем значение выражения $100 + 100x + 100x^2 + 100x^3 + 100x^4$ при $x = 1,1$.

Сначала вынесем общий множитель 100 за скобки:

$100(1 + x + x^2 + x^3 + x^4)$

Выражение в скобках представляет собой сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, у которой первый член $b_1 = 1$, а знаменатель прогрессии $q = x$. Сумма $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

В нашем случае $n=5$, поэтому сумма в скобках равна:

$S_5 = \frac{1(x^5 - 1)}{x - 1} = \frac{x^5 - 1}{x - 1}$

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде:

$100 \cdot \frac{x^5 - 1}{x - 1}$

Теперь подставим в это выражение значение $x = 1,1$:

$100 \cdot \frac{(1,1)^5 - 1}{1,1 - 1}$

Вычислим $(1,1)^5$:

$(1,1)^2 = 1,21$

$(1,1)^3 = 1,21 \cdot 1,1 = 1,331$

$(1,1)^4 = 1,331 \cdot 1,1 = 1,4641$

$(1,1)^5 = 1,4641 \cdot 1,1 = 1,61051$

Подставим полученное значение в формулу:

$100 \cdot \frac{1,61051 - 1}{0,1} = 100 \cdot \frac{0,61051}{0,1} = 100 \cdot 6,1051 = 610,51$

Ответ: $610,51$.

б) Найдем значение выражения $10 - 10x + 10x^2 - 10x^3 + 10x^4 - 10x^5$ при $x = 0,3$.

Вынесем общий множитель 10 за скобки:

$10(1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5)$

Выражение в скобках представляет собой сумму первых шести членов геометрической прогрессии, у которой первый член $b_1 = 1$, а знаменатель прогрессии $q = -x$. Используем формулу суммы $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

В нашем случае $n=6$, поэтому сумма в скобках равна:

$S_6 = \frac{1(1 - (-x)^6)}{1 - (-x)} = \frac{1 - x^6}{1 + x}$

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде:

$10 \cdot \frac{1 - x^6}{1 + x}$

Подставим в это выражение значение $x = 0,3$:

$10 \cdot \frac{1 - (0,3)^6}{1 + 0,3}$

Вычислим $(0,3)^6$:

$(0,3)^2 = 0,09$

$(0,3)^3 = 0,027$

$(0,3)^6 = (0,3^3)^2 = (0,027)^2 = 0,000729$

Подставим полученное значение в формулу:

$10 \cdot \frac{1 - 0,000729}{1,3} = 10 \cdot \frac{0,999271}{1,3} = \frac{9,99271}{1,3} = 7,6867$

Ответ: $7,6867$.