Страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

696 Андрей готовился к словарному диктанту по английскому языку, назначенному на понедельник. В воскресенье ночью он выучил 80 слов. Известно, что без повторения Андрей будет ежедневно забывать примерно 5% выученных слов. Сколько слов будет помнить Андрей, если диктант отложат на неделю и он не будет повторять выученные слова?

Для решения этой задачи нужно рассчитать, сколько слов останется в памяти у Андрея через неделю, если он каждый день забывает 5% от того количества слов, которое помнил накануне.

Изначально Андрей выучил 80 слов.

Ежедневная потеря 5% слов означает, что каждый день у него в памяти остается $100\% - 5\% = 95\%$ от количества слов предыдущего дня. Это можно представить как умножение на коэффициент $0.95$.

Поскольку диктант отложили на неделю, то есть на 7 дней, нам нужно применить этот коэффициент 7 раз подряд. Это является задачей на вычисление сложных процентов.

Для расчета можно использовать формулу: $S_n = S_0 \cdot (1 - p)^n$, где $S_n$ — конечное количество слов, $S_0$ — начальное количество слов ($80$), $p$ — процентная ставка, выраженная в долях (5% = $0.05$), а $n$ — количество периодов (в данном случае, 7 дней).

Подставим известные значения в формулу: $S_7 = 80 \cdot (1 - 0.05)^7 = 80 \cdot (0.95)^7$

Сначала вычислим $(0.95)^7$: $(0.95)^7 \approx 0.698337296$

Теперь умножим полученное значение на начальное количество слов: $S_7 \approx 80 \cdot 0.698337 \approx 55.86696$

Так как количество слов может быть только целым числом, а в условии задачи указано "примерно 5%", то полученный результат следует округлить до ближайшего целого числа.

$55.86696 \approx 56$

Ответ: Андрей будет помнить примерно 56 слов.

697 Дмитрий взял кредит 25 000 р. на покупку мебели. При возврате кредита он, кроме взятой суммы, должен выплатить некоторый процент в зависимости от срока возврата долга. Ниже приведён расчёт, показывающий, сколько Дмитрий должен вернуть в зависимости от того, через какое время он сможет это сделать:

через 1 год — 27 500 р.;

через 2 года — 30 000 р.;

через 3 года — 32 500 р.;

через 4 года — 35 000 р.

На каких условиях ему предоставлен кредит — насчитываются простые или сложные проценты?

Какова процентная ставка кредита?

На каких условиях ему предоставлен кредит — насчитываются простые или сложные проценты?

Для ответа на этот вопрос проанализируем, как изменяется сумма долга с течением времени. Начальная сумма кредита, или основной долг, составляет $S = 25 \, 000$ рублей.

Рассчитаем сумму процентов, которая начисляется за каждый отдельный год:

• Сумма процентов за 1-й год: $27 \, 500 - 25 \, 000 = 2 \, 500$ рублей.
• Сумма процентов за 2-й год (сверх долга за 1-й год): $30 \, 000 - 27 \, 500 = 2 \, 500$ рублей.
• Сумма процентов за 3-й год (сверх долга за 2-й год): $32 \, 500 - 30 \, 000 = 2 \, 500$ рублей.
• Сумма процентов за 4-й год (сверх долга за 3-й год): $35 \, 000 - 32 \, 500 = 2 \, 500$ рублей.

Поскольку каждый год сумма долга увеличивается на одну и ту же фиксированную величину ($2 \, 500$ рублей), это означает, что проценты начисляются только на первоначальную сумму кредита. Такой способ начисления называется простыми процентами. При сложных процентах сумма ежегодного начисления увеличивалась бы, так как проценты начислялись бы и на ранее накопленные проценты.

Ответ: На кредит начисляются простые проценты.

Какова процентная ставка кредита?

Процентная ставка определяется как отношение суммы процентов, начисленных за один год, к основной сумме долга, выраженное в процентах. Мы уже установили, что ежегодное начисление процентов составляет $2 \, 500$ рублей при основной сумме долга $25 \, 000$ рублей.

Рассчитаем годовую процентную ставку $r$:

$r = \frac{\text{сумма процентов за год}}{\text{основная сумма долга}} \times 100\% = \frac{2 \, 500}{25 \, 000} \times 100\% = 0.1 \times 100\% = 10\%$

Для проверки можно использовать формулу простых процентов для итоговой суммы $A_n$ через $n$ лет: $A_n = S \cdot (1 + n \cdot r)$, где $S$ - начальная сумма, $r$ - годовая ставка в долях.

При $r = 0.1$ (что соответствует 10%):

• Через 1 год: $25 \, 000 \cdot (1 + 1 \cdot 0.1) = 25 \, 000 \cdot 1.1 = 27 \, 500$ рублей.
• Через 2 года: $25 \, 000 \cdot (1 + 2 \cdot 0.1) = 25 \, 000 \cdot 1.2 = 30 \, 000$ рублей.
• Через 3 года: $25 \, 000 \cdot (1 + 3 \cdot 0.1) = 25 \, 000 \cdot 1.3 = 32 \, 500$ рублей.
• Через 4 года: $25 \, 000 \cdot (1 + 4 \cdot 0.1) = 25 \, 000 \cdot 1.4 = 35 \, 000$ рублей.

Результаты полностью совпадают с данными из условия.

Ответ: Процентная ставка кредита составляет 10% годовых.

698 При покупке квартиры в строящемся доме покупатель заключил со строительной фирмой следующий договор: сразу после заключения договора он выплачивает 10% стоимости квартиры, а далее начинает ежемесячно выплачивать 3% от её стоимости. Стоимость купленной им квартиры составляет 600 тыс. р.

а) Составьте формулу для вычисления суммы, выплаченной покупателем квартиры через $n$ месяцев после заключения договора. Вычислите, сколько было выплачено через 1 год; через 2 года после заключения договора.

б) Составьте формулу для вычисления суммы, которую осталось заплатить через $n$ месяцев с начала действия договора, и найдите, сколько останется заплатить через 1 год; через 2 года.

в) На сколько лет рассчитана выплата стоимости квартиры?

г) Проиллюстрируйте графически ситуации, описанные в заданиях «а» и «б», откладывая по горизонтальной оси число лет, в течение которых производится расчёт, а по вертикальной оси — денежные суммы.

а)

Сначала определим основные параметры платежа. Общая стоимость квартиры составляет $S = 600 \, 000$ рублей.

1. Первоначальный взнос составляет 10% от стоимости квартиры:
$P_0 = 0.10 \times 600 \, 000 = 60 \, 000$ рублей.

2. Ежемесячный платеж составляет 3% от стоимости квартиры:
$M = 0.03 \times 600 \, 000 = 18 \, 000$ рублей.

3. Сумма, выплаченная покупателем через $n$ месяцев после заключения договора, $P_n$, складывается из первоначального взноса и суммы всех ежемесячных платежей за $n$ месяцев.
Формула для выплаченной суммы:
$P_n = P_0 + n \times M = 60 \, 000 + 18 \, 000n$

4. Вычислим, сколько было выплачено через 1 год ($n=12$ месяцев):
$P_{12} = 60 \, 000 + 18 \, 000 \times 12 = 60 \, 000 + 216 \, 000 = 276 \, 000$ рублей.

5. Вычислим, сколько было выплачено через 2 года ($n=24$ месяца):
$P_{24} = 60 \, 000 + 18 \, 000 \times 24 = 60 \, 000 + 432 \, 000 = 492 \, 000$ рублей.

Ответ: Формула для вычисления выплаченной суммы через $n$ месяцев: $P_n = 60 \, 000 + 18 \, 000n$ рублей. Через 1 год было выплачено 276 000 рублей, через 2 года — 492 000 рублей.

б)

1. Сумма, которую осталось заплатить через $n$ месяцев, $R_n$, равна полной стоимости квартиры $S$ за вычетом уже выплаченной суммы $P_n$.
Формула для оставшейся суммы:
$R_n = S - P_n = 600 \, 000 - (60 \, 000 + 18 \, 000n) = 540 \, 000 - 18 \, 000n$

2. Найдем, сколько останется заплатить через 1 год ($n=12$):
$R_{12} = 540 \, 000 - 18 \, 000 \times 12 = 540 \, 000 - 216 \, 000 = 324 \, 000$ рублей.

3. Найдем, сколько останется заплатить через 2 года ($n=24$):
$R_{24} = 540 \, 000 - 18 \, 000 \times 24 = 540 \, 000 - 432 \, 000 = 108 \, 000$ рублей.

Ответ: Формула для вычисления оставшейся суммы через $n$ месяцев: $R_n = 540 \, 000 - 18 \, 000n$ рублей. Через 1 год останется заплатить 324 000 рублей, через 2 года — 108 000 рублей.

в)

1. Выплата стоимости квартиры будет завершена, когда оставшаяся к оплате сумма станет равна нулю, то есть $R_n = 0$.

2. Решим уравнение:
$540 \, 000 - 18 \, 000n = 0$
$18 \, 000n = 540 \, 000$
$n = \frac{540 \, 000}{18 \, 000} = 30$ месяцев.

3. Переведем полученный срок в годы, зная, что в году 12 месяцев:
$\frac{30}{12} = 2.5$ года.

Ответ: Выплата стоимости квартиры рассчитана на 2.5 года.

г)

Для иллюстрации ситуаций построим графики зависимостей выплаченной и оставшейся сумм от времени. По горизонтальной оси отложим время в годах ($t$), по вертикальной — денежные суммы в тысячах рублей ($Y$).

Связь между месяцами $n$ и годами $t$: $n = 12t$.

1. Функция выплаченной суммы $P(t)$ (в тыс. р.):
$P(t) = \frac{P_n}{1000} = \frac{60 \, 000 + 18 \, 000 \times (12t)}{1000} = 60 + 216t$. Это возрастающая линейная функция.

2. Функция оставшейся суммы $R(t)$ (в тыс. р.):
$R(t) = \frac{R_n}{1000} = \frac{540 \, 000 - 18 \, 000 \times (12t)}{1000} = 540 - 216t$. Это убывающая линейная функция.

На графике ниже синяя линия показывает рост выплаченной суммы, а красная — уменьшение оставшейся суммы.

Ответ: График представляет собой две пересекающиеся прямые. Синяя линия (выплаченная сумма) начинается с 60 тыс. рублей (первоначальный взнос) и растет до 600 тыс. рублей за 2.5 года. Красная линия (оставшаяся сумма) начинается с 540 тыс. рублей и убывает до нуля за тот же срок.