Страница 273 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

704 Определите, какие из следующих геометрических прогрессий являются бесконечно убывающими, и найдите их сумму:

а) $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; ...$

б) $5^{-1}; 5^{0}; 5^{1}; 5^{2}; ...$

в) $5^{2}; 5^{1}; 5^{0}; 5^{-1}; ...$

г) $1; \frac{3}{2}; \frac{9}{4}; \frac{27}{8}; ...$

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя $q$ меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии.

а) Дана прогрессия $ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16},...$

Первый член этой прогрессии $b_1 = \frac{1}{2}$. Найдем ее знаменатель $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{1}{2}$.

Проверим условие бесконечно убывающей прогрессии: $|q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.

Так как $\frac{1}{2} < 1$, данная прогрессия является бесконечно убывающей. Найдем ее сумму:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{1/2}{1 - 1/2} = \frac{1/2}{1/2} = 1$.

Ответ: прогрессия является бесконечно убывающей, ее сумма равна 1.

б) Дана прогрессия $5^{-1}, 5^0, 5^1, 5^2, ...$, что то же самое, что и $\frac{1}{5}, 1, 5, 25, ...$

Первый член этой прогрессии $b_1 = 5^{-1} = \frac{1}{5}$. Найдем ее знаменатель $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{5^0}{5^{-1}} = \frac{1}{1/5} = 5$.

Проверим условие бесконечно убывающей прогрессии: $|q| = |5| = 5$.

Так как $5 > 1$, данная прогрессия не является бесконечно убывающей.

Ответ: прогрессия не является бесконечно убывающей.

в) Дана прогрессия $5^2, 5^1, 5^0, 5^{-1}, ...$, что то же самое, что и $25, 5, 1, \frac{1}{5}, ...$

Первый член этой прогрессии $b_1 = 5^2 = 25$. Найдем ее знаменатель $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{5^1}{5^2} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$.

Проверим условие бесконечно убывающей прогрессии: $|q| = |\frac{1}{5}| = \frac{1}{5}$.

Так как $\frac{1}{5} < 1$, данная прогрессия является бесконечно убывающей. Найдем ее сумму:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{25}{1 - 1/5} = \frac{25}{4/5} = 25 \cdot \frac{5}{4} = \frac{125}{4} = 31,25$.

Ответ: прогрессия является бесконечно убывающей, ее сумма равна $\frac{125}{4}$.

г) Дана прогрессия $1, \frac{3}{2}, \frac{9}{4}, \frac{27}{8}, ...$

Первый член этой прогрессии $b_1 = 1$. Найдем ее знаменатель $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3/2}{1} = \frac{3}{2}$.

Проверим условие бесконечно убывающей прогрессии: $|q| = |\frac{3}{2}| = \frac{3}{2}$.

Так как $\frac{3}{2} > 1$, данная прогрессия не является бесконечно убывающей.

Ответ: прогрессия не является бесконечно убывающей.