Страница 278 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

708 Постройте у себя в тетради первые десять строк треугольника Паскаля.

Треугольник Паскаля — это числовая таблица треугольной формы, которая обладает множеством интересных математических свойств. Он назван в честь французского математика Блеза Паскаля.

Построение треугольника осуществляется по следующим простым правилам:

• На вершине треугольника (в нулевой строке) стоит число 1.
• Каждая следующая строка начинается и заканчивается единицами.
• Каждое из остальных чисел в строке равно сумме двух чисел, расположенных непосредственно над ним в предыдущей строке.

Элементы треугольника Паскаля также являются биномиальными коэффициентами. Элемент, находящийся в $n$-й строке на $k$-м месте (нумерация строк и мест в них начинается с 0), равен биномиальному коэффициенту $C_n^k$, который вычисляется по формуле:

$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Например, чтобы найти 3-й элемент ($k=2$) в 4-й строке ($n=4$), мы можем сложить 2-й и 3-й элементы из 3-й строки (3 + 3 = 6), или использовать формулу: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6$.

Ниже представлены первые десять строк треугольника Паскаля (с 0-й по 9-ю):

Ответ: Первые десять строк треугольника Паскаля построены и представлены в таблице выше.

709 Проверьте на примерах, что сумма элементов каждой следующей строки треугольника Паскаля в два раза больше суммы элементов предыдущей строки. Объясните, почему так получается. (Вам может помочь схема на рис. 4.21.)

Проверка на примерах

Для проверки утверждения построим первые несколько строк треугольника Паскаля (нумерация начинается с нулевой строки) и вычислим сумму элементов в каждой строке.

Строка 0: 1
Сумма $S_0 = 1 = 2^0$

Строка 1: 1 1
Сумма $S_1 = 1 + 1 = 2 = 2^1$

Строка 2: 1 2 1
Сумма $S_2 = 1 + 2 + 1 = 4 = 2^2$

Строка 3: 1 3 3 1
Сумма $S_3 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3$

Строка 4: 1 4 6 4 1
Сумма $S_4 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4$

Теперь сравним отношения сумм элементов соседних строк:

• $S_1 / S_0 = 2 / 1 = 2$
• $S_2 / S_1 = 4 / 2 = 2$
• $S_3 / S_2 = 8 / 4 = 2$
• $S_4 / S_3 = 16 / 8 = 2$

Примеры показывают, что сумма элементов каждой последующей строки ровно в два раза больше суммы элементов предыдущей строки.

Ответ: Проверка на примерах первых пяти строк треугольника Паскаля подтверждает, что сумма элементов каждой следующей строки вдвое больше суммы элементов предыдущей. Например, сумма элементов 3-й строки равна 8, а 4-й строки — 16, что в 2 раза больше ($16 / 8 = 2$).

Объяснение

Это свойство является прямым следствием правила построения треугольника Паскаля. Вспомним, что каждый элемент строки (кроме крайних единиц) получается путем сложения двух элементов, расположенных над ним в предыдущей строке.

Обозначим сумму элементов строки с номером $n-1$ как $S_{n-1}$, а сумму элементов следующей строки с номером $n$ как $S_n$. Чтобы найти $S_n$, мы должны сложить все её элементы. Но каждый элемент строки $n$ — это сумма элементов из строки $n-1$.

Рассмотрим, как каждый элемент из строки $n-1$ вносит свой "вклад" в сумму $S_n$. Каждый элемент из строки $n-1$ (кроме крайних) участвует в образовании двух элементов строки $n$: элемента слева-внизу и элемента справа-внизу от него. Крайние единицы также вносят свой вклад в два элемента следующей строки (в единицу и в соседний с ней элемент).

Например, при переходе от строки 3 ($1, 3, 3, 1$) к строке 4 ($1, 4, 6, 4, 1$):
$S_4 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = (1) + (1+3) + (3+3) + (3+1) + (1)$

Перегруппируем слагаемые, чтобы увидеть вклад каждого элемента из третьей строки:
$S_4 = (1+3+3+1) + (1+3+3+1) = S_3 + S_3 = 2 \cdot S_3$

В общем случае, если элементы $(n-1)$-й строки — это $a_0, a_1, \dots, a_{n-1}$, то сумма элементов $n$-й строки будет:
$S_n = a_0 + (a_0+a_1) + (a_1+a_2) + \dots + (a_{n-2}+a_{n-1}) + a_{n-1}$

Сгруппировав слагаемые, мы увидим, что каждый элемент $a_k$ из предыдущей строки входит в эту сумму ровно два раза:
$S_n = (a_0 + a_1 + \dots + a_{n-1}) + (a_0 + a_1 + \dots + a_{n-1}) = 2 \cdot (a_0 + a_1 + \dots + a_{n-1})$

Таким образом, мы получаем фундаментальное соотношение:
$S_n = 2 \cdot S_{n-1}$

Ответ: Сумма элементов строки $n$ ($S_n$) формируется путем сложения пар соседних элементов из строки $n-1$. При суммировании всех элементов строки $n$ каждый элемент из строки $n-1$ оказывается учтенным ровно дважды. Поэтому сумма элементов строки $n$ в два раза больше суммы элементов строки $n-1$, то есть $S_n = 2S_{n-1}$.

710 Покажите в треугольнике Паскаля «диагональ», по которой располагается:

а) последовательность натуральных чисел;

б) последовательность треугольных чисел (1; 3; 6; 10; ...);

в) последовательность пирамидальных чисел (1; 4; 10; 20; ...).

Треугольник Паскаля — это бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В ней по краям стоят единицы, а каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки и диагонали треугольника нумеруются с нуля.

Вот первые несколько строк треугольника Паскаля (где $n$ — номер строки, а $k$ — номер элемента в строке, нумерация с 0):

 k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 n=0: 1 n=1: 1 1 n=2: 1 2 1 n=3: 1 3 3 1 n=4: 1 4 6 4 1 n=5: 1 5 10 10 5 1 n=6: 1 6 15 20 15 6 1 ... 

Элемент в n-й строке и на k-й позиции равен биномиальному коэффициенту $C_n^k = \binom{n}{k}$. «Диагонали», о которых идет речь в задаче, это последовательности чисел, где номер позиции $k$ постоянен.

а) последовательность натуральных чисел

Последовательность натуральных чисел $1, 2, 3, 4, 5, \ldots$ расположена на «диагонали» с индексом $k=1$ (вторая, если считать с края). Эта диагональ состоит из элементов $\binom{n}{1}$ для $n \ge 1$.

$C_1^1 = \binom{1}{1} = 1$
$C_2^1 = \binom{2}{1} = 2$
$C_3^1 = \binom{3}{1} = 3$
$C_4^1 = \binom{4}{1} = 4$
...
В общем виде: $\binom{n}{1} = n$.

На треугольнике Паскаля эта диагональ выглядит так (выделено):

 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 

Ответ: Последовательность натуральных чисел находится на второй «диагонали» (с $k=1$) треугольника Паскаля. Она состоит из элементов $C_n^1$ для $n \ge 1$.

б) последовательность треугольных чисел (1; 3; 6; 10; ...)

Треугольные числа — это числа, которые являются суммой последовательных натуральных чисел. n-е треугольное число $T_n = 1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}$. Последовательность начинается так: $1, 3, 6, 10, 15, \ldots$.

Эта последовательность расположена на «диагонали» с индексом $k=2$ (третья с края). Диагональ состоит из элементов $\binom{n}{2}$ для $n \ge 2$.

$C_2^2 = \binom{2}{2} = 1$ (это $T_1$)
$C_3^2 = \binom{3}{2} = 3$ (это $T_2$)
$C_4^2 = \binom{4}{2} = 6$ (это $T_3$)
$C_5^2 = \binom{5}{2} = 10$ (это $T_4$)
...
В общем виде, n-е треугольное число $T_n$ равно $C_{n+1}^2 = \binom{n+1}{2}$.

На треугольнике Паскаля эта диагональ выглядит так (выделено):

 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 

Ответ: Последовательность треугольных чисел находится на третьей «диагонали» (с $k=2$) треугольника Паскаля. Она состоит из элементов $C_n^2$ для $n \ge 2$.

в) последовательность пирамидальных чисел (1; 4; 10; 20; ...)

Пирамидальные (или тетраэдрические) числа — это числа, представляющие количество шаров, уложенных в виде пирамиды с треугольным основанием. n-е пирамидальное число $P_n$ — это сумма первых n треугольных чисел: $P_n = T_1+T_2+\dots+T_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$. Последовательность начинается так: $1, 4, 10, 20, 35, \ldots$.

Эта последовательность расположена на «диагонали» с индексом $k=3$ (четвертая с края). Диагональ состоит из элементов $\binom{n}{3}$ для $n \ge 3$.

$C_3^3 = \binom{3}{3} = 1$ (это $P_1$)
$C_4^3 = \binom{4}{3} = 4$ (это $P_2$)
$C_5^3 = \binom{5}{3} = 10$ (это $P_3$)
$C_6^3 = \binom{6}{3} = 20$ (это $P_4$)
...
В общем виде, n-е пирамидальное число $P_n$ равно $C_{n+2}^3 = \binom{n+2}{3}$.

На треугольнике Паскаля эта диагональ выглядит так (выделено):

 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 

Ответ: Последовательность пирамидальных чисел находится на четвертой «диагонали» (с $k=3$) треугольника Паскаля. Она состоит из элементов $C_n^3$ для $n \ge 3$.

711 Докажите, что сумма чисел строки с номером $n$ треугольника Паскаля равна $2^n$.

Указание. Можно доказать это разными способами:

1) воспользуйтесь результатом задачи 709;

2) подставьте в формулу бинома Ньютона $a = 1$ и $b = 1$.

1) воспользуйтесь результатом задачи 709;

Обозначим сумму чисел в строке с номером $n$ треугольника Паскаля через $S_n$. Результат задачи 709 заключается в свойстве, что сумма чисел в любой строке (начиная с первой) в два раза больше суммы чисел в предыдущей строке. Математически это выражается рекуррентным соотношением: $S_n = 2 S_{n-1}$ для $n \ge 1$.

Чтобы найти общую формулу для $S_n$, нам также нужен "базовый случай". Нулевая строка (при $n=0$) треугольника Паскаля состоит из одного числа 1. Следовательно, сумма чисел в нулевой строке равна $S_0 = 1$.

Используя рекуррентное соотношение, мы можем последовательно выразить $S_n$ через $S_0$:
$S_1 = 2 S_0$
$S_2 = 2 S_1 = 2 (2 S_0) = 2^2 S_0$
$S_3 = 2 S_2 = 2 (2^2 S_0) = 2^3 S_0$
...
$S_n = 2^n S_0$

Подставляя известное значение $S_0 = 1$, получаем итоговую формулу:
$S_n = 2^n \cdot 1 = 2^n$.

Ответ: Сумма чисел в $n$-й строке треугольника Паскаля $S_n$ удовлетворяет соотношению $S_n = 2S_{n-1}$. Так как $S_0 = 1$, то по индукции $S_n = 2^n$.

2) подставьте в формулу бинома Ньютона $a = 1$ и $b = 1$.

Формула бинома Ньютона для разложения степени двучлена $(a+b)^n$ имеет вид:
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + \dots + C_n^n a^0 b^n$.

Коэффициенты $C_n^k$ в этой формуле — это биномиальные коэффициенты, которые и являются числами в строке с номером $n$ треугольника Паскаля. Сумма этих чисел есть $\sum_{k=0}^{n} C_n^k$.

Следуя указанию, подставим в формулу бинома Ньютона значения $a=1$ и $b=1$.
Левая часть равенства станет: $(1+1)^n = 2^n$.
Правая часть равенства станет: $\sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot 1^{n-k} \cdot 1^k = \sum_{k=0}^{n} C_n^k$.

Приравнивая левую и правую части, мы получаем искомое тождество:
$2^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k = C_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n$.

Ответ: Подстановка $a=1, b=1$ в формулу бинома Ньютона $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$ дает $2^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k$, что и требовалось доказать.