Страница 283 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

734 a) В библиотечном фонде к началу года было примерно 10 тыс. книг. Ежемесячно количество книг увеличивалось на $3\%$ по сравнению с предыдущим месяцем. Сколько книг стало в библиотечном фонде через год (ответ округлите до тысяч)? На сколько процентов увеличился фонд к концу года?

б) По туристическому накопительному вкладу банк ежемесячно начисляет $2\%$. На вклад внесена некоторая сумма и оставлена в банке на год. Определите, сколько процентов будет начислено на этот вклад за год.

Указание. Обозначьте величину вклада какой-нибудь буквой.

a)

Данная задача решается с использованием формулы сложных процентов. Здесь процентное увеличение происходит каждый месяц от новой, уже увеличенной суммы.

1. Сначала найдем, сколько книг станет в фонде через год.
Начальное количество книг: $S_0 = 10000$.
Ежемесячное увеличение: $p = 3\% = 0.03$.
Период: 1 год = 12 месяцев.
Количество книг через 12 месяцев ($S_{12}$) вычисляется по формуле:
$S_{12} = S_0 \cdot (1 + p)^{12}$
$S_{12} = 10000 \cdot (1 + 0.03)^{12} = 10000 \cdot (1.03)^{12}$
Вычислим значение $(1.03)^{12}$:
$(1.03)^{12} \approx 1.42576088$
Теперь найдем итоговое количество книг:
$S_{12} \approx 10000 \cdot 1.42576088 = 14257.6088$ книг.
По условию, ответ нужно округлить до тысяч. Число 14257.6 ближе к 14000, чем к 15000. Таким образом, в фонде стало примерно 14 тысяч книг.

2. Теперь найдем, на сколько процентов увеличился фонд за год.
Абсолютное увеличение фонда составляет:
$\Delta S = S_{12} - S_0 \approx 14257.6 - 10000 = 4257.6$ книг.
Процентное увеличение равно отношению абсолютного увеличения к начальному количеству, умноженному на 100%:
$\text{Процентное увеличение} = \frac{\Delta S}{S_0} \cdot 100\% \approx \frac{4257.6}{10000} \cdot 100\% = 42.576\%$.
Этот же результат можно получить, зная годовой множитель:
$((1.03)^{12} - 1) \cdot 100\% \approx (1.42576 - 1) \cdot 100\% = 0.42576 \cdot 100\% = 42.576\%$.
Округлим до десятых долей процента: $42.6\%$.
Ответ: через год в библиотечном фонде стало примерно 14 тыс. книг, а сам фонд увеличился на 42.6%.

б)

Эта задача также на вычисление сложных процентов. Нам нужно найти общий процент, начисленный за год, при ежемесячном начислении 2%.

Согласно указанию, обозначим начальную величину вклада буквой $S$.
Ежемесячно сумма на вкладе увеличивается на 2%, то есть умножается на коэффициент: $1 + \frac{2}{100} = 1.02$.
Поскольку проценты начисляются ежемесячно в течение года (12 месяцев), итоговая сумма $S_{12}$ через год будет равна:
$S_{12} = S \cdot (1.02)^{12}$

Чтобы найти, сколько процентов было начислено за год, нужно рассчитать, на сколько процентов конечная сумма $S_{12}$ превышает начальную $S$.
Процентное увеличение за год вычисляется по формуле:
$\text{Процент} = \frac{S_{12} - S}{S} \cdot 100\%$.
Подставим выражение для $S_{12}$:
$\text{Процент} = \frac{S \cdot (1.02)^{12} - S}{S} \cdot 100\% = \frac{S \cdot ((1.02)^{12} - 1)}{S} \cdot 100\% = ((1.02)^{12} - 1) \cdot 100\%$.
Как видим, результат не зависит от первоначального размера вклада $S$.

Теперь вычислим значение:
$(1.02)^{12} \approx 1.26824179$.
Находим итоговый процент:
$(1.26824179 - 1) \cdot 100\% = 0.26824179 \cdot 100\% = 26.824179\%$.
Округлим результат до сотых долей процента: $26.82\%$.
Ответ: за год на вклад будет начислено примерно 26.82%.

735 a) При уценке холодильника его цена дважды понижалась на одно и то же число процентов. В результате она снизилась на 36%. На сколько процентов она понижалась каждый раз?

б) Цена компьютера сначала была повышена на некоторое количество процентов, а затем снижена на такое же количество процентов. Определите, на сколько процентов была повышена, а затем снижена цена компьютера, если в результате она снизилась на 1%.

а)

Пусть первоначальная цена холодильника равна $C$, а процент, на который цена понижалась каждый раз, равен $x\%$.

При понижении цены на $x\%$ от нее остается $(100 - x)\%$, что в виде десятичной дроби равно $(1 - \frac{x}{100})$.

После первого понижения цена стала $C_1 = C \cdot (1 - \frac{x}{100})$.

После второго понижения цена стала $C_2 = C_1 \cdot (1 - \frac{x}{100}) = C \cdot (1 - \frac{x}{100}) \cdot (1 - \frac{x}{100}) = C \cdot (1 - \frac{x}{100})^2$.

По условию, в результате двух понижений цена снизилась на $36\%$. Это означает, что итоговая цена составила $100\% - 36\% = 64\%$ от первоначальной.

Таким образом, конечная цена $C_2$ равна $C \cdot \frac{64}{100} = 0.64 \cdot C$.

Теперь мы можем составить и решить уравнение, приравняв два выражения для $C_2$:

$C \cdot (1 - \frac{x}{100})^2 = 0.64 \cdot C$

Разделим обе части уравнения на $C$ (так как первоначальная цена не равна нулю):

$(1 - \frac{x}{100})^2 = 0.64$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку $x$ - это процент снижения, то $x < 100$, и выражение в скобках положительно.

$1 - \frac{x}{100} = \sqrt{0.64}$

$1 - \frac{x}{100} = 0.8$

Найдем $x$:

$\frac{x}{100} = 1 - 0.8$

$\frac{x}{100} = 0.2$

$x = 0.2 \cdot 100 = 20$

Следовательно, цена каждый раз понижалась на $20\%$.

Ответ: на $20\%$.

б)

Пусть первоначальная цена компьютера равна $C$, а процент, на который цена сначала была повышена, а затем снижена, равен $x\%$.

После повышения цены на $x\%$ она стала равна $C_1 = C \cdot (1 + \frac{x}{100})$.

Затем новая цена $C_1$ была снижена на $x\%$. Конечная цена стала $C_2 = C_1 \cdot (1 - \frac{x}{100})$.

Подставим выражение для $C_1$ в формулу для $C_2$:

$C_2 = C \cdot (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 - \frac{x}{100})$

Используем формулу сокращенного умножения для разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$C_2 = C \cdot (1^2 - (\frac{x}{100})^2) = C \cdot (1 - \frac{x^2}{10000})$

По условию, в результате цена снизилась на $1\%$. Это значит, что конечная цена составила $100\% - 1\% = 99\%$ от первоначальной.

$C_2 = C \cdot \frac{99}{100} = 0.99 \cdot C$

Приравняем два выражения для $C_2$ и решим уравнение:

$C \cdot (1 - \frac{x^2}{10000}) = 0.99 \cdot C$

Разделим обе части на $C$:

$1 - \frac{x^2}{10000} = 0.99$

Выразим член с $x$:

$\frac{x^2}{10000} = 1 - 0.99$

$\frac{x^2}{10000} = 0.01$

$x^2 = 0.01 \cdot 10000$

$x^2 = 100$

$x = \sqrt{100} = 10$ (берем положительное значение, так как $x$ - это процент).

Следовательно, цена была повышена, а затем снижена на $10\%$.

Ответ: на $10\%$.

736 a) В коробке 3 белые, 5 красных и 12 чёрных одинаковых по форме пуговиц. Какова вероятность того, что наугад вынутая пуговица будет чёрной? не красной?

б) В колоде 36 карт. Вынимают одну карту. Расположите в порядке возрастания вероятностей следующие события:

A: вынута карта бубновой масти;

B: вынута карта — туз;

C: вынут король пик;

D: вынута карта младше десятки.

а) Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{n}$, где $m$ – число благоприятных исходов, а $n$ – общее число всех равновозможных исходов.

1. Найдем общее количество пуговиц в коробке:
$n = 3 \text{ (белые)} + 5 \text{ (красные)} + 12 \text{ (чёрные)} = 20$ пуговиц.

2. Найдем вероятность того, что вынутая пуговица будет чёрной.
Число благоприятных исходов (чёрных пуговиц) $m = 12$.
Вероятность вынуть чёрную пуговицу:
$P(\text{чёрная}) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0.6$

3. Найдем вероятность того, что вынутая пуговица будет не красной.
Это означает, что пуговица может быть либо белой, либо чёрной.
Число благоприятных исходов (не красных пуговиц) $m = 3 \text{ (белые)} + 12 \text{ (чёрные)} = 15$.
Вероятность вынуть не красную пуговицу:
$P(\text{не красная}) = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} = 0.75$

Ответ: вероятность вынуть чёрную пуговицу равна $\frac{3}{5}$; вероятность вынуть не красную пуговицу равна $\frac{3}{4}$.

б) В колоде 36 карт. Общее число исходов для любого события $n=36$. Найдем вероятность каждого события.

A: вынута карта бубновой масти.
В колоде из 36 карт 4 масти, карт каждой масти поровну: $36 / 4 = 9$. Значит, в колоде 9 карт бубновой масти. Число благоприятных исходов $m_A = 9$.
$P(A) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

B: вынута карта — туз.
В колоде 4 туза (по одному каждой масти).
Число благоприятных исходов $m_B = 4$.
$P(B) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

C: вынут король пик.
В колоде только одна такая карта.
Число благоприятных исходов $m_C = 1$.
$P(C) = \frac{1}{36}$

D: вынута карта младше десятки.
В стандартной колоде на 36 карт это карты достоинством 6, 7, 8, 9. Каждого достоинства по 4 карты (по одной на масть).
Число благоприятных исходов $m_D = 4 \text{ (достоинства)} \times 4 \text{ (масти)} = 16$.
$P(D) = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$

Теперь сравним полученные вероятности, приведя их к общему знаменателю 36:
$P(A) = \frac{9}{36}$
$P(B) = \frac{4}{36}$
$P(C) = \frac{1}{36}$
$P(D) = \frac{16}{36}$

Расположим вероятности в порядке возрастания:
$\frac{1}{36} < \frac{4}{36} < \frac{9}{36} < \frac{16}{36}$
Следовательно, $P(C) < P(B) < P(A) < P(D)$.

Ответ: C, B, A, D.

737 Отобраны 5 футболистов, которые будут пробивать пенальти.

а) Сколько существует вариантов порядка, в котором они могут выполнять удары?

б) Какова вероятность того, что футболист Иванов будет пробивать пятым?

в) Какова вероятность того, что Иванов будет пробивать сразу за Петровым?

а) Задача состоит в том, чтобы найти количество способов упорядочить 5 различных объектов (футболистов). Это классическая задача на перестановки. Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$. В данном случае $n=5$.
Число вариантов порядка равно:
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
Таким образом, существует 120 вариантов порядка, в котором футболисты могут выполнять удары.
Ответ: 120

б) Вероятность события определяется как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Формула вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ – общее число исходов, а $m$ – число благоприятствующих исходов.
Из предыдущего пункта мы знаем, что общее число возможных порядков ударов $N = 120$.
Теперь найдем число благоприятствующих исходов, то есть тех, в которых футболист Иванов бьет пятым. Если мы зафиксируем Иванова на последнем, пятом месте, то оставшиеся 4 футболиста могут быть расставлены на первых четырех местах. Число способов это сделать равно числу перестановок из 4 элементов:
$m = P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Следовательно, вероятность того, что Иванов будет бить пятым, равна:
$P = \frac{m}{N} = \frac{24}{120} = \frac{1}{5}$.
Также можно рассуждать, что для любого футболиста все 5 позиций в очереди равновероятны, поэтому вероятность занять любую конкретную позицию (в том числе пятую) равна $1/5$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

в) Общее число всех возможных исходов, как и ранее, составляет $N = 120$.
Найдем число благоприятствующих исходов, то есть таких, в которых Иванов бьет сразу после Петрова. Для этого можно представить пару "Петров, Иванов" как единый, неделимый блок. Тогда нам нужно определить количество способов расставить этот блок и оставшихся 3 футболистов. Всего у нас получается 4 "объекта" для расстановки (блок "Петров, Иванов" и 3 других футболиста).
Число способов расставить эти 4 объекта равно числу перестановок из 4 элементов:
$m = P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Вероятность того, что Иванов будет пробивать сразу за Петровым, равна:
$P = \frac{m}{N} = \frac{24}{120} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$