Номер 737, страница 283 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вероятность, статистика, комбинаторика. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 737, страница 283.

737 Отобраны 5 футболистов, которые будут пробивать пенальти.

а) Сколько существует вариантов порядка, в котором они могут выполнять удары?

б) Какова вероятность того, что футболист Иванов будет пробивать пятым?

в) Какова вероятность того, что Иванов будет пробивать сразу за Петровым?

а) Задача состоит в том, чтобы найти количество способов упорядочить 5 различных объектов (футболистов). Это классическая задача на перестановки. Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$. В данном случае $n=5$.
Число вариантов порядка равно:
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
Таким образом, существует 120 вариантов порядка, в котором футболисты могут выполнять удары.
Ответ: 120

б) Вероятность события определяется как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Формула вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ – общее число исходов, а $m$ – число благоприятствующих исходов.
Из предыдущего пункта мы знаем, что общее число возможных порядков ударов $N = 120$.
Теперь найдем число благоприятствующих исходов, то есть тех, в которых футболист Иванов бьет пятым. Если мы зафиксируем Иванова на последнем, пятом месте, то оставшиеся 4 футболиста могут быть расставлены на первых четырех местах. Число способов это сделать равно числу перестановок из 4 элементов:
$m = P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Следовательно, вероятность того, что Иванов будет бить пятым, равна:
$P = \frac{m}{N} = \frac{24}{120} = \frac{1}{5}$.
Также можно рассуждать, что для любого футболиста все 5 позиций в очереди равновероятны, поэтому вероятность занять любую конкретную позицию (в том числе пятую) равна $1/5$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

в) Общее число всех возможных исходов, как и ранее, составляет $N = 120$.
Найдем число благоприятствующих исходов, то есть таких, в которых Иванов бьет сразу после Петрова. Для этого можно представить пару "Петров, Иванов" как единый, неделимый блок. Тогда нам нужно определить количество способов расставить этот блок и оставшихся 3 футболистов. Всего у нас получается 4 "объекта" для расстановки (блок "Петров, Иванов" и 3 других футболиста).
Число способов расставить эти 4 объекта равно числу перестановок из 4 элементов:
$m = P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Вероятность того, что Иванов будет пробивать сразу за Петровым, равна:
$P = \frac{m}{N} = \frac{24}{120} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$