Номер 733, страница 282 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Простые и сложные проценты. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 733, страница 282.

733 В 2010 г. в центральном районе города проживало 30 тыс. человек, а в новом районе — 10 тыс. человек. В течение следующих пяти лет число жителей центрального района ежегодно уменьшалось примерно на 8%, а число жителей нового района росло примерно на 30%.

а) Запишите в таблицу число жителей в центральном и в новом районах в каждом году с 2010-го по 2015-й. В каком году число жителей нового района превысило число жителей центрального района?

б) Какой процент составило население центрального района от населения нового района в 2015 г.?

Район	2005	2006	2007	2008	2009	2010
Центральный
Новый

а) Запишите в таблицу число жителей в центральном и в новом районах в каждом году с 2010-го по 2015-й. В каком году число жителей нового района превысило число жителей центрального района?

Для решения задачи определим коэффициенты изменения численности населения. Ежегодное уменьшение числа жителей центрального района на 8% означает, что каждый год число жителей составляет $100\% - 8\% = 92\%$ от предыдущего года. Это соответствует умножению на коэффициент $k_Ц = 0.92$. Ежегодный рост числа жителей нового района на 30% означает, что каждый год число жителей составляет $100\% + 30\% = 130\%$ от предыдущего года. Это соответствует умножению на коэффициент $k_Н = 1.3$.

Исходные данные на 2010 год:

• Центральный район: 30 тыс. человек.
• Новый район: 10 тыс. человек.

Рассчитаем численность населения (в тыс. человек) для каждого последующего года, используя формулу сложного процента $P_n = P_0 \cdot k^n$, где $P_0$ — начальная численность, $k$ — коэффициент изменения, $n$ — количество лет, прошедших с 2010 года.

Расчеты для Центрального района:

• 2011: $30 \cdot 0.92^1 = 27.6$ тыс.
• 2012: $30 \cdot 0.92^2 = 25.392$ тыс.
• 2013: $30 \cdot 0.92^3 \approx 23.361$ тыс.
• 2014: $30 \cdot 0.92^4 \approx 21.492$ тыс.
• 2015: $30 \cdot 0.92^5 \approx 19.772$ тыс.

Расчеты для Нового района:

• 2011: $10 \cdot 1.3^1 = 13$ тыс.
• 2012: $10 \cdot 1.3^2 = 16.9$ тыс.
• 2013: $10 \cdot 1.3^3 = 21.97$ тыс.
• 2014: $10 \cdot 1.3^4 = 28.561$ тыс.
• 2015: $10 \cdot 1.3^5 \approx 37.129$ тыс.

Теперь представим результаты в виде таблицы (значения в тыс. человек):

Район	2010	2011	2012	2013	2014	2015
Центральный	30.000	27.600	25.392	23.361	21.492	19.772
Новый	10.000	13.000	16.900	21.970	28.561	37.129

Сравнивая данные по годам, видим, что в 2013 году население центрального района (23.361 тыс.) еще было больше населения нового (21.970 тыс.). В 2014 году население нового района (28.561 тыс.) впервые превысило население центрального (21.492 тыс.).

Ответ: Таблица с данными о численности населения представлена выше. Число жителей нового района превысило число жителей центрального района в 2014 году.

б) Какой процент составило население центрального района от населения нового района в 2015 г.?

Для нахождения процентного соотношения воспользуемся данными за 2015 год:

• Население центрального района: $19.772$ тыс. человек.
• Население нового района: $37.129$ тыс. человек.

Чтобы найти, какой процент составляет население центрального района от населения нового, необходимо разделить численность населения центрального района на численность населения нового района и умножить полученное значение на 100%.

Выполним расчет: $(\frac{19.772}{37.129}) \cdot 100\% \approx 0.5325 \cdot 100\% = 53.25\%$

Округлив до десятых, получаем 53.3%.

Ответ: В 2015 году население центрального района составило примерно 53.3% от населения нового района.