Номер 728, страница 281 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Последовательности и прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 728, страница 281.

728 a) В геометрической прогрессии $b_3 = 48, b_6 = 6$. Найдите $b_{12}$.

б) Существует ли геометрическая прогрессия, в которой $b_3 = \frac{5}{27}, b_6 = 5 \text{ и } b_8 = 45?$

а)

Дана геометрическая прогрессия, в которой $b_3 = 48$ и $b_6 = 6$.
Формула для n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Также справедливо соотношение между любыми двумя членами прогрессии: $b_m = b_n \cdot q^{m-n}$.

Воспользуемся этим соотношением для известных членов $b_6$ и $b_3$, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$:
$b_6 = b_3 \cdot q^{6-3}$
$6 = 48 \cdot q^3$
$q^3 = \frac{6}{48} = \frac{1}{8}$
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

Теперь, зная знаменатель $q$, мы можем найти двенадцатый член прогрессии $b_{12}$, используя, например, член $b_6$:
$b_{12} = b_6 \cdot q^{12-6} = b_6 \cdot q^6$
Подставим известные значения:
$b_{12} = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 6 \cdot \frac{1}{64} = \frac{6}{64} = \frac{3}{32}$

Ответ: $b_{12} = \frac{3}{32}$

б)

Чтобы определить, существует ли геометрическая прогрессия с заданными членами $b_3 = \frac{5}{27}$, $b_6 = 5$ и $b_8 = 45$, необходимо проверить, можно ли найти для них единый знаменатель $q$.

Сначала найдем знаменатель $q$, используя первые два известных члена, $b_3$ и $b_6$:
$b_6 = b_3 \cdot q^{6-3} = b_3 \cdot q^3$
$5 = \frac{5}{27} \cdot q^3$
$q^3 = 5 \cdot \frac{27}{5} = 27$
$q = \sqrt[3]{27} = 3$

Теперь проверим, будет ли при этом знаменателе $q=3$ член $b_8$ равен 45. Для этого выразим $b_8$ через $b_6$:
$b_8 = b_6 \cdot q^{8-6} = b_6 \cdot q^2$
Подставим значения $b_6=5$ и $q=3$:
$b_8 = 5 \cdot 3^2 = 5 \cdot 9 = 45$

Полученное значение $b_8 = 45$ совпадает со значением, данным в условии задачи. Так как для всех трех заданных членов существует общий знаменатель $q=3$, такая геометрическая прогрессия существует.

Ответ: Да, существует.