Номер 722, страница 281 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Последовательности и прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 722, страница 281.

722 a) Пусть $(a_n)$ — последовательность натуральных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2. Докажите, что эта последовательность — арифметическая прогрессия. Чему равна разность этой прогрессии?

б) Докажите, что последовательность натуральных чисел, которые при делении на $k$ дают в остатке $r$, является арифметической прогрессией с разностью $k$.

а) Пусть $(a_n)$ — последовательность натуральных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2. Согласно определению деления с остатком, любой член этой последовательности $a$ можно представить в виде $a = 3q + 2$, где $q$ — целое неотрицательное число (частное), так как $a$ — натуральное число.

Чтобы получить все такие натуральные числа в порядке возрастания, мы должны перебирать все возможные значения частного $q$ начиная с 0: $q = 0, 1, 2, 3, \ldots$.

Первый член последовательности $a_1$ (наименьший) соответствует $q=0$: $a_1 = 3 \cdot 0 + 2 = 2$.
Второй член $a_2$ соответствует $q=1$: $a_2 = 3 \cdot 1 + 2 = 5$.
Третий член $a_3$ соответствует $q=2$: $a_3 = 3 \cdot 2 + 2 = 8$.
Таким образом, последовательность имеет вид: 2, 5, 8, 11, ...

Для доказательства того, что эта последовательность является арифметической прогрессией, необходимо показать, что разность между любым последующим и предыдущим её членом постоянна. Общий вид $n$-го члена последовательности $(a_n)$ можно выразить через его номер $n$. Поскольку для $n=1$ частное $q=0$, для $n=2$ частное $q=1$, и так далее, то для $n$-го члена частное будет равно $n-1$. Следовательно, формула для $n$-го члена: $a_n = 3(n-1) + 2$.

Найдем следующий член последовательности, $a_{n+1}$. Его номер $n+1$, значит, соответствующее частное будет $(n+1)-1 = n$. $a_{n+1} = 3n + 2$.

Теперь вычислим разность $d = a_{n+1} - a_n$: $d = (3n + 2) - (3(n-1) + 2) = 3n + 2 - (3n - 3 + 2) = 3n + 2 - (3n - 1) = 3n + 2 - 3n + 1 = 3$.

Так как разность $d=3$ является постоянной величиной для любого номера $n$, данная последовательность по определению является арифметической прогрессией. Разность этой прогрессии равна 3.
Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией с разностью 3.

---

б) Пусть дана последовательность натуральных чисел, которые при делении на натуральное число $k$ дают в остатке $r$, где $r$ — целое число и $0 \le r < k$.

Любое число $b$ из этой последовательности можно представить в виде $b = qk + r$, где $q$ — частное, являющееся целым неотрицательным числом ($q \in \{0, 1, 2, \ldots\}$).

Расположим все такие числа в порядке их возрастания, чтобы образовать последовательность $(b_n)$. Члены этой последовательности получаются при последовательном увеличении частного $q$ на 1.

Пусть $n$-й член последовательности $b_n$ соответствует некоторому частному $q_0$. Тогда его можно записать как: $b_n = q_0k + r$.

Следующий за ним, $(n+1)$-й член последовательности $b_{n+1}$, будет соответствовать следующему значению частного, то есть $q_0+1$. Его можно записать как: $b_{n+1} = (q_0+1)k + r$.

Чтобы доказать, что эта последовательность является арифметической прогрессией, найдем разность $d$ между двумя соседними членами: $d = b_{n+1} - b_n = ((q_0+1)k + r) - (q_0k + r)$.
Раскроем скобки и упростим выражение: $d = q_0k + k + r - q_0k - r = k$.

Разность между любым последующим и предыдущим членом последовательности постоянна и равна $k$. Это доказывает, что последовательность натуральных чисел, которые при делении на $k$ дают в остатке $r$, является арифметической прогрессией. Разность этой прогрессии равна $k$.
Ответ: Утверждение доказано; последовательность является арифметической прогрессией с разностью $k$.