Номер 719, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Последовательности и прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 719, страница 280.

719 Последовательность задана формулой: а) $a_n = \frac{n+1}{n}$; б) $b_n = \frac{2n-1}{n}$.

Для каждой последовательности:

1) вычислите первые пять её членов;

2) определите, возрастающей или убывающей является последовательность, и докажите это;

3) найдите какой-нибудь промежуток, которому принадлежат все члены этой последовательности.

а) Для последовательности $a_n = \frac{n+1}{n}$

1) вычислите первые пять её членов;

Для того чтобы найти первые пять членов последовательности, подставим вместо $n$ натуральные числа от 1 до 5:
$a_1 = \frac{1+1}{1} = \frac{2}{1} = 2$
$a_2 = \frac{2+1}{2} = \frac{3}{2}$
$a_3 = \frac{3+1}{3} = \frac{4}{3}$
$a_4 = \frac{4+1}{4} = \frac{5}{4}$
$a_5 = \frac{5+1}{5} = \frac{6}{5}$
Ответ: $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \frac{6}{5}$.

2) определите, возрастающей или убывающей является последовательность, и докажите это;

Сравним значения первых членов: $2 > \frac{3}{2} > \frac{4}{3} > \dots$. Можно предположить, что последовательность является убывающей. Докажем, что $a_{n+1} < a_n$ для любого натурального $n$. Для этого рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$. $a_{n+1} = \frac{(n+1)+1}{n+1} = \frac{n+2}{n+1}$. $a_{n+1} - a_n = \frac{n+2}{n+1} - \frac{n+1}{n} = \frac{n(n+2) - (n+1)^2}{n(n+1)} = \frac{n^2+2n - (n^2+2n+1)}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)}$. Поскольку $n$ — натуральное число, то $n > 0$ и $n+1 > 0$, следовательно, знаменатель $n(n+1)$ всегда положителен. Числитель равен -1, то есть отрицателен. Таким образом, вся дробь $\frac{-1}{n(n+1)}$ отрицательна для любого $n \in \mathbb{N}$. Так как $a_{n+1} - a_n < 0$, то $a_{n+1} < a_n$. Это доказывает, что последовательность является убывающей.
Ответ: последовательность является убывающей.

3) найдите какой-нибудь промежуток, которому принадлежат все члены этой последовательности.

Поскольку последовательность $a_n$ убывающая, её наибольший член — первый: $a_1 = 2$. Значит, все члены последовательности не превосходят 2, то есть $a_n \le 2$. Найдём предел последовательности при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n}) = 1$. Так как последовательность убывает, она ограничена снизу своим пределом. Все члены последовательности больше 1. Таким образом, для любого натурального $n$ выполняется неравенство $1 < a_n \le 2$. Следовательно, все члены последовательности принадлежат промежутку $(1, 2]$.
Ответ: $(1, 2]$.

---

б) Для последовательности $b_n = \frac{2n-1}{n}$

1) вычислите первые пять её членов;

Для того чтобы найти первые пять членов последовательности, подставим вместо $n$ натуральные числа от 1 до 5:
$b_1 = \frac{2 \cdot 1 - 1}{1} = \frac{1}{1} = 1$
$b_2 = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} = \frac{3}{2}$
$b_3 = \frac{2 \cdot 3 - 1}{3} = \frac{5}{3}$
$b_4 = \frac{2 \cdot 4 - 1}{4} = \frac{7}{4}$
$b_5 = \frac{2 \cdot 5 - 1}{5} = \frac{9}{5}$
Ответ: $1, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{7}{4}, \frac{9}{5}$.

2) определите, возрастающей или убывающей является последовательность, и докажите это;

Сравним значения первых членов: $1 < \frac{3}{2} < \frac{5}{3} < \dots$. Можно предположить, что последовательность является возрастающей. Докажем, что $b_{n+1} > b_n$ для любого натурального $n$. Для этого рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n$. $b_{n+1} = \frac{2(n+1)-1}{n+1} = \frac{2n+1}{n+1}$. $b_{n+1} - b_n = \frac{2n+1}{n+1} - \frac{2n-1}{n} = \frac{n(2n+1) - (n+1)(2n-1)}{n(n+1)} = \frac{2n^2+n - (2n^2-n+2n-1)}{n(n+1)} = \frac{2n^2+n - (2n^2+n-1)}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$. Поскольку $n$ — натуральное число, то $n > 0$ и $n+1 > 0$, следовательно, знаменатель $n(n+1)$ всегда положителен. Числитель равен 1, то есть положителен. Таким образом, вся дробь $\frac{1}{n(n+1)}$ положительна для любого $n \in \mathbb{N}$. Так как $b_{n+1} - b_n > 0$, то $b_{n+1} > b_n$. Это доказывает, что последовательность является возрастающей.
Ответ: последовательность является возрастающей.

3) найдите какой-нибудь промежуток, которому принадлежат все члены этой последовательности.

Поскольку последовательность $b_n$ возрастающая, её наименьший член — первый: $b_1 = 1$. Значит, все члены последовательности не меньше 1, то есть $b_n \ge 1$. Найдём предел последовательности при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n-1}{n} = \lim_{n \to \infty} (2 - \frac{1}{n}) = 2$. Так как последовательность возрастает, она ограничена сверху своим пределом. Все члены последовательности меньше 2. Таким образом, для любого натурального $n$ выполняется неравенство $1 \le b_n < 2$. Следовательно, все члены последовательности принадлежат промежутку $[1, 2)$.
Ответ: $[1, 2)$.