Номер 713, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.8. Треугольник Паскаля. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 713, страница 279.

713 а) Запишите с помощью символа $C_n^m$ шестую и седьмую строки треугольника Паскаля.

б) Запишите с помощью символа $C_n^m$ несколько элементов какой-нибудь «диагонали» треугольника Паскаля.

а)

Треугольник Паскаля состоит из биномиальных коэффициентов. Элементы n-й строки (при нумерации строк, начиная с n=0) задаются символами $C_n^m$, где m меняется от 0 до n. Таким образом, «нулевая» строка (самая верхняя) состоит из одного элемента $C_0^0=1$. Первая строка (n=1) состоит из $C_1^0, C_1^1$.

Следуя этой нумерации, шестая строка будет соответствовать n=5, а седьмая строка — n=6.

Шестая строка (n=5) состоит из следующих элементов, записанных с помощью символа $C_n^m$:
$C_5^0, C_5^1, C_5^2, C_5^3, C_5^4, C_5^5$.

Седьмая строка (n=6) состоит из следующих элементов:
$C_6^0, C_6^1, C_6^2, C_6^3, C_6^4, C_6^5, C_6^6$.

Ответ: Шестая строка: $C_5^0, C_5^1, C_5^2, C_5^3, C_5^4, C_5^5$. Седьмая строка: $C_6^0, C_6^1, C_6^2, C_6^3, C_6^4, C_6^5, C_6^6$.

б)

«Диагонали» в треугольнике Паскаля представляют собой последовательности коэффициентов $C_n^m$, у которых один из индексов (n или m) или их разность (n-m) изменяются по определённому правилу, а другой параметр остаётся постоянным.

Рассмотрим одну из таких диагоналей, в которой верхний индекс m постоянен. Например, выберем диагональ, где m=2 (это третья по счёту диагональ, если начинать с m=0). Элементы этой диагонали имеют вид $C_n^2$, где нижний индекс n должен быть не меньше 2 (так как $n \ge m$).

Запишем несколько первых элементов для этой диагонали, начиная с наименьшего возможного n: $C_2^2, C_3^2, C_4^2, C_5^2, \ldots$

Эти коэффициенты соответствуют числовым значениям 1, 3, 6, 10, ... , которые образуют последовательность так называемых треугольных чисел.

Ответ: Например, несколько элементов диагонали при $m=2$: $C_2^2, C_3^2, C_4^2, C_5^2$.