Номер 716, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.8. Треугольник Паскаля. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 716, страница 279.

716 Представьте в виде многочлена:

а) $(x + 1)^5;$

б) $(2a + 3)^4;$

в) $(a - b)^6;$

г) $(2 - m)^7;$

д) $(x + 2y)^5;$

е) $(2c - 3m)^4.$

Для решения данных задач используется формула бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$, где $\binom{n}{k}$ — биномиальные коэффициенты, которые можно найти, например, с помощью треугольника Паскаля.

а) Для разложения выражения $(x+1)^5$ в многочлен используем формулу бинома Ньютона. Коэффициенты для степени $n=5$ равны: 1, 5, 10, 10, 5, 1.
Запишем разложение:
$(x+1)^5 = 1 \cdot x^5 \cdot 1^0 + 5 \cdot x^4 \cdot 1^1 + 10 \cdot x^3 \cdot 1^2 + 10 \cdot x^2 \cdot 1^3 + 5 \cdot x^1 \cdot 1^4 + 1 \cdot x^0 \cdot 1^5$.
Так как умножение на 1 не меняет значения, получаем:
$x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1$.
Ответ: $x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1$.

б) Для разложения выражения $(2a+3)^4$ используем бином Ньютона. Коэффициенты для $n=4$: 1, 4, 6, 4, 1.
Запишем разложение, где $a=2a$ и $b=3$:
$(2a+3)^4 = 1 \cdot (2a)^4 \cdot 3^0 + 4 \cdot (2a)^3 \cdot 3^1 + 6 \cdot (2a)^2 \cdot 3^2 + 4 \cdot (2a)^1 \cdot 3^3 + 1 \cdot (2a)^0 \cdot 3^4$.
Упростим выражение:
$1 \cdot 16a^4 \cdot 1 + 4 \cdot 8a^3 \cdot 3 + 6 \cdot 4a^2 \cdot 9 + 4 \cdot 2a \cdot 27 + 1 \cdot 1 \cdot 81 = 16a^4 + 96a^3 + 216a^2 + 216a + 81$.
Ответ: $16a^4 + 96a^3 + 216a^2 + 216a + 81$.

в) Для разложения выражения $(a-b)^6$ используем бином Ньютона. Коэффициенты для $n=6$: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Так как второй член в скобках отрицательный ($-b$), знаки в разложении будут чередоваться.
Запишем разложение:
$(a-b)^6 = 1 \cdot a^6 - 6 \cdot a^5b^1 + 15 \cdot a^4b^2 - 20 \cdot a^3b^3 + 15 \cdot a^2b^4 - 6 \cdot a^1b^5 + 1 \cdot b^6$.
Это и есть конечный многочлен.
Ответ: $a^6 - 6a^5b + 15a^4b^2 - 20a^3b^3 + 15a^2b^4 - 6ab^5 + b^6$.

г) Для разложения выражения $(2-m)^7$ используем бином Ньютона. Коэффициенты для $n=7$: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. Знаки в разложении будут чередоваться.
Запишем разложение, где $a=2$ и $b=-m$:
$(2-m)^7 = 1 \cdot 2^7 - 7 \cdot 2^6m^1 + 21 \cdot 2^5m^2 - 35 \cdot 2^4m^3 + 35 \cdot 2^3m^4 - 21 \cdot 2^2m^5 + 7 \cdot 2^1m^6 - 1 \cdot m^7$.
Упростим выражение:
$128 - 7(64)m + 21(32)m^2 - 35(16)m^3 + 35(8)m^4 - 21(4)m^5 + 14m^6 - m^7 = 128 - 448m + 672m^2 - 560m^3 + 280m^4 - 84m^5 + 14m^6 - m^7$.
Ответ: $128 - 448m + 672m^2 - 560m^3 + 280m^4 - 84m^5 + 14m^6 - m^7$.

д) Для разложения выражения $(x+2y)^5$ используем бином Ньютона. Коэффициенты для $n=5$: 1, 5, 10, 10, 5, 1.
Запишем разложение, где $a=x$ и $b=2y$:
$(x+2y)^5 = 1 \cdot x^5(2y)^0 + 5 \cdot x^4(2y)^1 + 10 \cdot x^3(2y)^2 + 10 \cdot x^2(2y)^3 + 5 \cdot x^1(2y)^4 + 1 \cdot x^0(2y)^5$.
Упростим выражение:
$x^5 + 5x^4(2y) + 10x^3(4y^2) + 10x^2(8y^3) + 5x(16y^4) + 32y^5 = x^5 + 10x^4y + 40x^3y^2 + 80x^2y^3 + 80xy^4 + 32y^5$.
Ответ: $x^5 + 10x^4y + 40x^3y^2 + 80x^2y^3 + 80xy^4 + 32y^5$.

е) Для разложения выражения $(2c-3m)^4$ используем бином Ньютона. Коэффициенты для $n=4$: 1, 4, 6, 4, 1. Знаки в разложении будут чередоваться.
Запишем разложение, где $a=2c$ и $b=-3m$:
$(2c-3m)^4 = 1 \cdot (2c)^4 - 4 \cdot (2c)^3(3m)^1 + 6 \cdot (2c)^2(3m)^2 - 4 \cdot (2c)^1(3m)^3 + 1 \cdot (3m)^4$.
Упростим выражение:
$16c^4 - 4(8c^3)(3m) + 6(4c^2)(9m^2) - 4(2c)(27m^3) + 81m^4 = 16c^4 - 96c^3m + 216c^2m^2 - 216cm^3 + 81m^4$.
Ответ: $16c^4 - 96c^3m + 216c^2m^2 - 216cm^3 + 81m^4$.