Номер 712, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.8. Треугольник Паскаля. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 712, страница 279.

712 Найдите с помощью треугольника Паскаля $C_5^2$; $C_7^4$; $C_8^6$; $C_9^0$; $C_3^3$.

Для нахождения значений биномиальных коэффициентов $C_n^k$ (числа сочетаний из $n$ по $k$) используется треугольник Паскаля. В этом треугольнике $n$ соответствует номеру строки, а $k$ — номеру элемента в строке. Нумерация строк и элементов в них начинается с нуля. Значение $C_n^k$ находится в строке с номером $n$ на месте с номером $k$.

Сначала построим треугольник Паскаля до 9-й строки включительно, так как максимальное значение $n$ в задаче равно 9.

n=0: 1
n=1: 1 1
n=2: 1 2 1
n=3: 1 3 3 1
n=4: 1 4 6 4 1
n=5: 1 5 10 10 5 1
n=6: 1 6 15 20 15 6 1
n=7: 1 7 21 35 35 21 7 1
n=8: 1 8 28 56 70 56 28 8 1
n=9: 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

Теперь найдем требуемые значения.

$C_5^2$

Для нахождения $C_5^2$ смотрим на строку с $n=5$. Нам нужен элемент с номером $k=2$. Строка для $n=5$ выглядит так: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Элемент с номером 2 (третий по счету) равен 10.

Ответ: 10

$C_7^4$

Для нахождения $C_7^4$ смотрим на строку с $n=7$. Нам нужен элемент с номером $k=4$. Строка для $n=7$ выглядит так: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. Элемент с номером 4 (пятый по счету) равен 35.

Ответ: 35

$C_8^6$

Для нахождения $C_8^6$ смотрим на строку с $n=8$. Нам нужен элемент с номером $k=6$. Строка для $n=8$ выглядит так: 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1. Элемент с номером 6 (седьмой по счету) равен 28. Также можно использовать свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$, из которого следует, что $C_8^6 = C_8^{8-6} = C_8^2$. Элемент с номером 2 в этой же строке также равен 28.

Ответ: 28

$C_9^0$

Для нахождения $C_9^0$ смотрим на строку с $n=9$. Нам нужен элемент с номером $k=0$. Строка для $n=9$ выглядит так: 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1. Элемент с номером 0 (первый по счету) всегда равен 1.

Ответ: 1

$C_3^3$

Для нахождения $C_3^3$ смотрим на строку с $n=3$. Нам нужен элемент с номером $k=3$. Строка для $n=3$ выглядит так: 1, 3, 3, 1. Элемент с номером 3 (четвертый по счету) равен 1. Последний элемент в любой строке ($C_n^n$) также всегда равен 1.

Ответ: 1