Номер 707, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.7. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 707, страница 274.

707 a) Дан квадрат со стороной $1$. Середины сторон этого квадрата соединены отрезками, и получен новый квадрат. В новый квадрат аналогичным способом вписан ещё один квадрат и т. д. (так, как это сделано на рисунке $4.15$ на с. $256$). Докажите, что сумма площадей получающихся в результате этой процедуры квадратов равна площади исходного квадрата.

б) В равносторонний треугольник со стороной $1$ вписан треугольник, вершинами которого являются середины сторон первого; в этот треугольник тем же способом вписан новый треугольник и т. д. Найдите сумму периметров бесконечной последовательности полученных вписанных треугольников.

а)

Пусть сторона исходного квадрата $K_1$ равна $a_1 = 1$. Его площадь $S_1 = a_1^2 = 1$.

В этот квадрат вписан новый квадрат $K_2$, вершины которого являются серединами сторон квадрата $K_1$. Сторона квадрата $K_2$, обозначим ее $a_2$, является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными половине стороны квадрата $K_1$, то есть $a_1/2 = 1/2$.

По теореме Пифагора найдем квадрат стороны $a_2$:

$a_2^2 = (1/2)^2 + (1/2)^2 = 1/4 + 1/4 = 1/2$.

Площадь второго квадрата $S_2$ равна $a_2^2$, следовательно, $S_2 = 1/2$.

Аналогично, в квадрат $K_2$ вписан квадрат $K_3$. Его площадь $S_3$ будет в два раза меньше площади $S_2$:

$S_3 = S_2 / 2 = (1/2)/2 = 1/4$.

Таким образом, площади получающихся вписанных квадратов ($S_2, S_3, S_4, \dots$) образуют бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = S_2 = 1/2$ и знаменателем $q = S_3/S_2 = (1/4)/(1/2) = 1/2$.

Требуется доказать, что сумма площадей этих вписанных квадратов равна площади исходного квадрата. Найдем сумму этой прогрессии по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1-q}$:

$S = \frac{1/2}{1 - 1/2} = \frac{1/2}{1/2} = 1$.

Сумма площадей равна 1, что в точности равно площади исходного квадрата ($S_1=1$). Утверждение доказано.

Ответ: Сумма площадей вписанных квадратов равна 1, что равно площади исходного квадрата.

б)

Дан равносторонний треугольник $T_1$ со стороной $a_1 = 1$. Его периметр $P_1 = 3 \cdot a_1 = 3$.

В него вписан треугольник $T_2$, вершинами которого являются середины сторон треугольника $T_1$. Стороны треугольника $T_2$ являются средними линиями треугольника $T_1$.

По свойству средней линии, ее длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. Следовательно, сторона треугольника $T_2$ равна $a_2 = a_1/2 = 1/2$. Так как исходный треугольник равносторонний, то и вписанный треугольник $T_2$ также является равносторонним.

Периметр треугольника $T_2$ равен $P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot (1/2) = 3/2$.

Продолжая этот процесс, получаем последовательность периметров вписанных треугольников $P_2, P_3, P_4, \dots$, где каждый следующий член в 2 раза меньше предыдущего:

$P_3 = P_2/2 = 3/4$, $P_4 = P_3/2 = 3/8$, и так далее.

Эта последовательность представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = P_2 = 3/2$ и знаменателем $q = 1/2$.

Найдем сумму этой прогрессии, которая и будет являться суммой периметров всех вписанных треугольников. Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1-q}$:

$S = \frac{3/2}{1 - 1/2} = \frac{3/2}{1/2} = 3$.

Ответ: 3