Номер 702, страница 270 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Простые и сложные проценты. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 702, страница 270.

702 После окончания университета дипломник имеет возможность получить одну из двух работ. На одной из них его годовой заработок в первый год составит 150 000 р., а затем ежегодно будет увеличиваться на 15% от этой суммы. На второй работе в первый год его заработок составит 100 000 р. и затем ежегодно к нему будет добавляться 20% от предыдущего заработка.

а) Выпишите планируемый заработок в первый, второй и третий годы на каждой из этих работ.

б) На какой по счёту год заработок на второй работе превзойдёт заработок на первой работе?

в) Предположим, что дипломник планирует работать в одном месте не менее 10 лет. На какой из этих работ его суммарный заработок будет больше?

а) Выпишите планируемый заработок в первый, второй и третий годы на каждой из этих работ.

Для первой работы годовой заработок представляет собой арифметическую прогрессию. Первый член прогрессии $A_1 = 150\ 000$ р. Ежегодное увеличение составляет 15% от первоначальной суммы, то есть $150\ 000 \cdot 0.15 = 22\ 500$ р. Это разность арифметической прогрессии $d$.

Заработок в n-й год на первой работе: $A_n = A_1 + (n-1)d$.

• 1-й год: $A_1 = 150\ 000$ р.
• 2-й год: $A_2 = 150\ 000 + 22\ 500 = 172\ 500$ р.
• 3-й год: $A_3 = 172\ 500 + 22\ 500 = 195\ 000$ р.

Для второй работы годовой заработок представляет собой геометрическую прогрессию. Первый член прогрессии $B_1 = 100\ 000$ р. Ежегодное увеличение составляет 20% от предыдущего заработка, значит, каждый год заработок умножается на $1 + 0.20 = 1.2$. Это знаменатель геометрической прогрессии $q$.

Заработок в n-й год на второй работе: $B_n = B_1 \cdot q^{n-1}$.

• 1-й год: $B_1 = 100\ 000$ р.
• 2-й год: $B_2 = 100\ 000 \cdot 1.2 = 120\ 000$ р.
• 3-й год: $B_3 = 120\ 000 \cdot 1.2 = 144\ 000$ р.

Ответ:
Первая работа: 1-й год — 150 000 р., 2-й год — 172 500 р., 3-й год — 195 000 р.
Вторая работа: 1-й год — 100 000 р., 2-й год — 120 000 р., 3-й год — 144 000 р.

б) На какой по счёту год заработок на второй работе превзойдёт заработок на первой работе?

Нам нужно найти наименьший номер года $n$, для которого выполняется неравенство $B_n > A_n$. Используем формулы для n-го члена каждой прогрессии:
$A_n = 150\ 000 + (n-1) \cdot 22\ 500$
$B_n = 100\ 000 \cdot (1.2)^{n-1}$
Неравенство: $100\ 000 \cdot (1.2)^{n-1} > 150\ 000 + (n-1) \cdot 22\ 500$.

Продолжим расчеты по годам, начатые в пункте а):

• 4-й год: $A_4 = 195\ 000 + 22\ 500 = 217\ 500$ р.; $B_4 = 144\ 000 \cdot 1.2 = 172\ 800$ р. ($A_4 > B_4$)
• 5-й год: $A_5 = 217\ 500 + 22\ 500 = 240\ 000$ р.; $B_5 = 172\ 800 \cdot 1.2 = 207\ 360$ р. ($A_5 > B_5$)
• 6-й год: $A_6 = 240\ 000 + 22\ 500 = 262\ 500$ р.; $B_6 = 207\ 360 \cdot 1.2 = 248\ 832$ р. ($A_6 > B_6$)
• 7-й год: $A_7 = 262\ 500 + 22\ 500 = 285\ 000$ р.; $B_7 = 248\ 832 \cdot 1.2 = 298\ 598.4$ р. ($B_7 > A_7$)

На 7-й год заработок на второй работе впервые превысит заработок на первой.

Ответ: На 7-й год.

в) Предположим, что дипломник планирует работать в одном месте не менее 10 лет. На какой из этих работ его суммарный заработок будет больше?

Нужно сравнить суммарный заработок за 10 лет для каждой работы. Это сумма первых 10 членов каждой прогрессии.

Для первой работы (арифметическая прогрессия) используем формулу суммы: $S_{A,n} = \frac{2A_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$. При $n=10$:
$S_{A,10} = \frac{2 \cdot 150\ 000 + 22\ 500 \cdot (10-1)}{2} \cdot 10 = \frac{300\ 000 + 22\ 500 \cdot 9}{2} \cdot 10 = \frac{300\ 000 + 202\ 500}{2} \cdot 10 = \frac{502\ 500}{2} \cdot 10 = 251\ 250 \cdot 10 = 2\ 512\ 500$ р.

Для второй работы (геометрическая прогрессия) используем формулу суммы: $S_{B,n} = B_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$. При $n=10$:
$S_{B,10} = 100\ 000 \cdot \frac{(1.2)^{10} - 1}{1.2 - 1}$.
Рассчитаем $1.2^{10} \approx 6.1917$.
$S_{B,10} = 100\ 000 \cdot \frac{6.1917 - 1}{0.2} = 100\ 000 \cdot \frac{5.1917}{0.2} = 100\ 000 \cdot 25.9585 = 2\ 595\ 850$ р.

Сравниваем суммарные заработки: $S_{A,10} = 2\ 512\ 500$ р.
$S_{B,10} = 2\ 595\ 850$ р.
$S_{B,10} > S_{A,10}$

Ответ: На второй работе суммарный заработок за 10 лет будет больше.