Номер 703, страница 271 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Простые и сложные проценты. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 703, страница 271.

703 Ирина внесла в конце января 1000 р. на счёт, по которому ежемесячно начисляется 2% от имеющейся на нём суммы. И затем в конце каждого месяца в течение года она вносила на этот счёт ещё по 1000 р., не снимая с него никаких сумм. Сколько рублей будет на её счёте в конце декабря?

Решение:

Для решения этой задачи необходимо рассчитать итоговую сумму на счёте в конце декабря, учитывая ежемесячные пополнения и начисление процентов.

Обозначим:
$P = 1000$ р. — сумма ежемесячного пополнения.
$r = 2\% = 0.02$ — ежемесячная процентная ставка.
$k = 1 + r = 1.02$ — коэффициент, на который увеличивается сумма на счёте каждый месяц.

Ирина вносит по 1000 рублей в конце каждого месяца, начиная с января и заканчивая декабрём. Всего 12 взносов. Проценты начисляются в конце каждого месяца на имеющуюся на счёте сумму.

Рассмотрим, как будет расти каждый из взносов к концу декабря:
- Взнос, сделанный в конце января, будет на счёте 11 месяцев (с февраля по декабрь), и на него 11 раз будут начислены проценты. Его итоговая сумма составит $1000 \cdot 1.02^{11}$.
- Взнос, сделанный в конце февраля, будет на счёте 10 месяцев, и его сумма составит $1000 \cdot 1.02^{10}$.
- И так далее, для каждого последующего взноса.
- Взнос, сделанный в конце ноября, пролежит 1 месяц, и его сумма составит $1000 \cdot 1.02^{1}$.
- Взнос, сделанный в конце декабря, будет только добавлен на счёт, и проценты на него в этом году начислены не будут. Его сумма составит $1000$.

Общая сумма на счёте в конце декабря будет являться суммой всех этих накоплений:
$S = 1000 \cdot 1.02^{11} + 1000 \cdot 1.02^{10} + \dots + 1000 \cdot 1.02^1 + 1000$

Это сумма 12 членов геометрической прогрессии. Для удобства расчёта запишем её в порядке возрастания степеней:
$S = 1000 \cdot (1 + 1.02^1 + 1.02^2 + \dots + 1.02^{10} + 1.02^{11})$

Сумма в скобках — это сумма геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = 1$, знаменатель $q = 1.02$, а количество членов $n = 12$. Формула суммы геометрической прогрессии: $S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$.

Применим формулу для расчёта общей суммы на счёте:
$S = 1000 \cdot \left( \frac{1 \cdot (1.02^{12} - 1)}{1.02 - 1} \right) = 1000 \cdot \frac{1.02^{12} - 1}{0.02}$
$S = 50000 \cdot (1.02^{12} - 1)$

Теперь произведём вычисления:
$1.02^{12} \approx 1.26824179$
$S \approx 50000 \cdot (1.26824179 - 1) = 50000 \cdot 0.26824179$
$S \approx 13412.0895$

Округляя результат до сотых (копеек), получаем 13412,09 рублей.

Ответ: 13412,09 рублей.