Номер 698, страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Простые и сложные проценты. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 698, страница 269.

698 При покупке квартиры в строящемся доме покупатель заключил со строительной фирмой следующий договор: сразу после заключения договора он выплачивает 10% стоимости квартиры, а далее начинает ежемесячно выплачивать 3% от её стоимости. Стоимость купленной им квартиры составляет 600 тыс. р.

а) Составьте формулу для вычисления суммы, выплаченной покупателем квартиры через $n$ месяцев после заключения договора. Вычислите, сколько было выплачено через 1 год; через 2 года после заключения договора.

б) Составьте формулу для вычисления суммы, которую осталось заплатить через $n$ месяцев с начала действия договора, и найдите, сколько останется заплатить через 1 год; через 2 года.

в) На сколько лет рассчитана выплата стоимости квартиры?

г) Проиллюстрируйте графически ситуации, описанные в заданиях «а» и «б», откладывая по горизонтальной оси число лет, в течение которых производится расчёт, а по вертикальной оси — денежные суммы.

а)

Сначала определим основные параметры платежа. Общая стоимость квартиры составляет $S = 600 \, 000$ рублей.

1. Первоначальный взнос составляет 10% от стоимости квартиры:
$P_0 = 0.10 \times 600 \, 000 = 60 \, 000$ рублей.

2. Ежемесячный платеж составляет 3% от стоимости квартиры:
$M = 0.03 \times 600 \, 000 = 18 \, 000$ рублей.

3. Сумма, выплаченная покупателем через $n$ месяцев после заключения договора, $P_n$, складывается из первоначального взноса и суммы всех ежемесячных платежей за $n$ месяцев.
Формула для выплаченной суммы:
$P_n = P_0 + n \times M = 60 \, 000 + 18 \, 000n$

4. Вычислим, сколько было выплачено через 1 год ($n=12$ месяцев):
$P_{12} = 60 \, 000 + 18 \, 000 \times 12 = 60 \, 000 + 216 \, 000 = 276 \, 000$ рублей.

5. Вычислим, сколько было выплачено через 2 года ($n=24$ месяца):
$P_{24} = 60 \, 000 + 18 \, 000 \times 24 = 60 \, 000 + 432 \, 000 = 492 \, 000$ рублей.

Ответ: Формула для вычисления выплаченной суммы через $n$ месяцев: $P_n = 60 \, 000 + 18 \, 000n$ рублей. Через 1 год было выплачено 276 000 рублей, через 2 года — 492 000 рублей.

б)

1. Сумма, которую осталось заплатить через $n$ месяцев, $R_n$, равна полной стоимости квартиры $S$ за вычетом уже выплаченной суммы $P_n$.
Формула для оставшейся суммы:
$R_n = S - P_n = 600 \, 000 - (60 \, 000 + 18 \, 000n) = 540 \, 000 - 18 \, 000n$

2. Найдем, сколько останется заплатить через 1 год ($n=12$):
$R_{12} = 540 \, 000 - 18 \, 000 \times 12 = 540 \, 000 - 216 \, 000 = 324 \, 000$ рублей.

3. Найдем, сколько останется заплатить через 2 года ($n=24$):
$R_{24} = 540 \, 000 - 18 \, 000 \times 24 = 540 \, 000 - 432 \, 000 = 108 \, 000$ рублей.

Ответ: Формула для вычисления оставшейся суммы через $n$ месяцев: $R_n = 540 \, 000 - 18 \, 000n$ рублей. Через 1 год останется заплатить 324 000 рублей, через 2 года — 108 000 рублей.

в)

1. Выплата стоимости квартиры будет завершена, когда оставшаяся к оплате сумма станет равна нулю, то есть $R_n = 0$.

2. Решим уравнение:
$540 \, 000 - 18 \, 000n = 0$
$18 \, 000n = 540 \, 000$
$n = \frac{540 \, 000}{18 \, 000} = 30$ месяцев.

3. Переведем полученный срок в годы, зная, что в году 12 месяцев:
$\frac{30}{12} = 2.5$ года.

Ответ: Выплата стоимости квартиры рассчитана на 2.5 года.

г)

Для иллюстрации ситуаций построим графики зависимостей выплаченной и оставшейся сумм от времени. По горизонтальной оси отложим время в годах ($t$), по вертикальной — денежные суммы в тысячах рублей ($Y$).

Связь между месяцами $n$ и годами $t$: $n = 12t$.

1. Функция выплаченной суммы $P(t)$ (в тыс. р.):
$P(t) = \frac{P_n}{1000} = \frac{60 \, 000 + 18 \, 000 \times (12t)}{1000} = 60 + 216t$. Это возрастающая линейная функция.

2. Функция оставшейся суммы $R(t)$ (в тыс. р.):
$R(t) = \frac{R_n}{1000} = \frac{540 \, 000 - 18 \, 000 \times (12t)}{1000} = 540 - 216t$. Это убывающая линейная функция.

На графике ниже синяя линия показывает рост выплаченной суммы, а красная — уменьшение оставшейся суммы.

Ответ: График представляет собой две пересекающиеся прямые. Синяя линия (выплаченная сумма) начинается с 60 тыс. рублей (первоначальный взнос) и растет до 600 тыс. рублей за 2.5 года. Красная линия (оставшаяся сумма) начинается с 540 тыс. рублей и убывает до нуля за тот же срок.