Номер 694, страница 268 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Простые и сложные проценты. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 694, страница 268.

694 Новое ателье в первый год своей деятельности получило прибыль 400 тыс. р., а в течение следующих пяти лет его прибыль возрастала примерно на 50% в год.

a) Какую прибыль получило ателье за пятый год своей деятельности?

б) Какую прибыль получило ателье за все пять лет?

в) Какова была его среднегодовая прибыль?

Условия задачи описывают геометрическую прогрессию, так как прибыль ателье за каждый последующий год увеличивается в одно и то же число раз.

Определим параметры этой прогрессии:
Первый член прогрессии $b_1$ — это прибыль за первый год, которая составляет 400 тыс. р.
Прибыль ежегодно возрастала на 50%, следовательно, знаменатель прогрессии $q$ равен $1 + \frac{50}{100} = 1.5$.

а) Какую прибыль получило ателье за пятый год своей деятельности?

Прибыль за $n$-й год ($b_n$) в геометрической прогрессии вычисляется по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Для нахождения прибыли за пятый год ($n=5$) подставим известные значения в формулу:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = 400 \cdot (1.5)^4 = 400 \cdot 5.0625 = 2025$ тыс. р.
Ответ: 2025 тыс. р.

б) Какую прибыль получило ателье за все пять лет?

Общая прибыль за пять лет — это сумма первых пяти членов геометрической прогрессии ($S_5$).
Сумму $n$ членов можно найти по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Вычислим сумму для $n=5$:
$S_5 = \frac{400 \cdot (1.5^5 - 1)}{1.5 - 1} = \frac{400 \cdot (7.59375 - 1)}{0.5} = \frac{400 \cdot 6.59375}{0.5} = 5275$ тыс. р.
Альтернативно, можно сложить прибыли за каждый из пяти лет:
Год 1: 400 тыс. р.
Год 2: $400 \cdot 1.5 = 600$ тыс. р.
Год 3: $600 \cdot 1.5 = 900$ тыс. р.
Год 4: $900 \cdot 1.5 = 1350$ тыс. р.
Год 5: $1350 \cdot 1.5 = 2025$ тыс. р.
Общая сумма: $400 + 600 + 900 + 1350 + 2025 = 5275$ тыс. р.
Ответ: 5275 тыс. р.

в) Какова была его среднегодовая прибыль?

Среднегодовая прибыль находится делением общей прибыли за пять лет на количество лет (в данном случае 5).
Средняя прибыль = $\frac{S_5}{5} = \frac{5275}{5} = 1055$ тыс. р.
Ответ: 1055 тыс. р.