Номер 687, страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Простые и сложные проценты. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 687, страница 267.

687 Цена нового автомобиля 360 000 р. При нормальных условиях эксплуатации его продажная стоимость с каждым годом уменьшается на 8% от первоначальной цены.

а) За сколько рублей сможет продать автомобиль его владелец через 5 лет эксплуатации? через $n$ лет эксплуатации?

б) Через сколько лет продажная стоимость автомобиля станет меньше 150 000 р.? Чему будет равна эта стоимость?

а) За сколько рублей сможет продать автомобиль его владелец через 5 лет эксплуатации? через n лет эксплуатации?

Первоначальная цена автомобиля $P_0 = 360\ 000$ рублей.
По условию, продажная стоимость каждый год уменьшается на 8% от первоначальной цены. Это означает, что цена ежегодно снижается на одну и ту же фиксированную сумму.
Найдем величину этого ежегодного уменьшения стоимости:
$D = 360\ 000 \text{ р.} \times 0.08 = 28\ 800 \text{ рублей.}$

Стоимость через 5 лет
Чтобы найти продажную стоимость через 5 лет ($P_5$), нужно из первоначальной цены вычесть общее снижение стоимости за 5 лет:
$P_5 = P_0 - 5 \times D = 360\ 000 - 5 \times 28\ 800 = 360\ 000 - 144\ 000 = 216\ 000$ рублей.

Стоимость через n лет
Для нахождения стоимости через произвольное количество лет n ($P_n$), составим общую формулу, вычитая из начальной цены общее снижение за n лет:
$P_n = P_0 - n \times D$
$P_n = 360\ 000 - 28\ 800 \times n$

Ответ: через 5 лет владелец сможет продать автомобиль за 216 000 рублей; через n лет его стоимость будет определяться формулой $P_n = 360\ 000 - 28\ 800n$ рублей.

б) Через сколько лет продажная стоимость автомобиля станет меньше 150 000 р.? Чему будет равна эта стоимость?

Чтобы определить, через сколько лет n продажная стоимость $P_n$ станет меньше 150 000 рублей, необходимо решить неравенство:
$P_n < 150\ 000$
Подставим выведенную ранее формулу для $P_n$:
$360\ 000 - 28\ 800n < 150\ 000$
Решим это неравенство относительно n:
$360\ 000 - 150\ 000 < 28\ 800n$
$210\ 000 < 28\ 800n$
$n > \frac{210\ 000}{28\ 800}$
$n > \frac{2100}{288} \approx 7.2916...$

Поскольку n — это количество полных лет эксплуатации, оно должно быть целым числом. Наименьшее целое число n, которое больше 7.2916..., это 8. Следовательно, продажная стоимость автомобиля станет меньше 150 000 рублей через 8 лет.

Теперь найдем, чему будет равна эта стоимость по прошествии 8 лет ($P_8$), подставив $n=8$ в нашу формулу:
$P_8 = 360\ 000 - 28\ 800 \times 8 = 360\ 000 - 230\ 400 = 129\ 600$ рублей.

Ответ: продажная стоимость автомобиля станет меньше 150 000 рублей через 8 лет; на тот момент она будет равна 129 600 рублей.