Номер 690, страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Простые и сложные проценты. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 690, страница 267.

690 Вкладчик открыл счёт в банке, внеся 2000 р. на вклад, годовой доход по которому равен 12%.

а) Какая сумма будет находиться на счёте: через 1 год; через 2 года; через 5 лет?

б) Через сколько лет сумма на счёте превзойдёт удвоенный начальный вклад? Получите ответ на этот вопрос, последовательно вычисляя суммы вклада по годам.

в) Запишите формулу для вычисления количества денег на счёте через $n$ лет.

Это задача на сложные проценты. Каждый год сумма на счёте увеличивается на 12%, то есть умножается на коэффициент $1 + 12/100 = 1.12$.
Начальная сумма вклада: $S_0 = 2000$ р.

а) Какая сумма будет находиться на счёте: через 1 год; через 2 года; через 5 лет?

Рассчитаем сумму на счёте для каждого периода, последовательно умножая на годовой коэффициент 1.12:

• Через 1 год:
  $S_1 = 2000 \cdot 1.12 = 2240$ р.

• Через 2 года:
  $S_2 = S_1 \cdot 1.12 = 2240 \cdot 1.12 = 2508.80$ р.

• Через 5 лет:
  $S_5 = 2000 \cdot (1.12)^5 = 2000 \cdot 1.76234... \approx 3524.68$ р.

Ответ: через 1 год на счёте будет 2240 р.; через 2 года — 2508,80 р.; через 5 лет — примерно 3524,68 р.

б) Через сколько лет сумма на счёте превзойдёт удвоенный начальный вклад? Получите ответ на этот вопрос, последовательно вычисляя суммы вклада по годам.

Удвоенный начальный вклад составляет $2 \cdot 2000 = 4000$ р.
Нам нужно найти, через сколько полных лет сумма на счёте станет больше 4000 р. Будем последовательно вычислять сумму на конец каждого года.

• Конец 1-го года: $S_1 = 2240$ р. ($< 4000$ р.)

• Конец 2-го года: $S_2 = 2240 \cdot 1.12 = 2508.80$ р. ($< 4000$ р.)

• Конец 3-го года: $S_3 = 2508.80 \cdot 1.12 \approx 2809.86$ р. ($< 4000$ р.)

• Конец 4-го года: $S_4 = 2809.86 \cdot 1.12 \approx 3147.04$ р. ($< 4000$ р.)

• Конец 5-го года: $S_5 = 3147.04 \cdot 1.12 \approx 3524.68$ р. ($< 4000$ р.)

• Конец 6-го года: $S_6 = 3524.68 \cdot 1.12 \approx 3947.64$ р. ($< 4000$ р.)

• Конец 7-го года: $S_7 = 3947.64 \cdot 1.12 \approx 4421.36$ р. ($> 4000$ р.)

Таким образом, сумма на счёте превзойдёт удвоенный начальный вклад после 7 лет.

Ответ: через 7 лет.

в) Запишите формулу для вычисления количества денег на счёте через n лет.

Пусть $S_n$ — это сумма на счёте через $n$ лет, $S_0$ — начальный вклад (2000 р.), а годовой множитель равен 1.12 (соответствует 12% годовых).
Каждый год сумма умножается на 1.12. После $n$ лет начальная сумма будет умножена на этот коэффициент $n$ раз. Это описывается формулой сложных процентов:
$S_n = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n$
Подставив наши значения $S_0 = 2000$ и $p = 12$, получаем:
$S_n = 2000 \cdot (1.12)^n$

Ответ: $S_n = 2000 \cdot (1.12)^n$, где $S_n$ — сумма на счёте в рублях через $n$ лет.