Номер 689, страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Простые и сложные проценты. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 689, страница 267.

689 Клиент банка внёс 1500 р. на вклад с годовым доходом 5%. Если никакие суммы со счёта не снимаются и никаких дополнительных вложений не делается, то сколько денег будет на счёте через: 1 год; 2 года; 3 года; 4 года? Запишите формулу для вычисления количества денег на счёте через $n$ лет.

Подсказка. Не забудьте, что начисляются сложные проценты.

Для решения этой задачи используется формула сложных процентов. Эта формула применяется, когда проценты за каждый следующий период начисляются на сумму, включающую как первоначальный вклад, так и ранее начисленные проценты.

Общая формула для расчёта сложных процентов выглядит так: $S_n = P \cdot (1 + \frac{r}{100})^n$

В этой формуле:
$S_n$ — итоговая сумма на счёте через $n$ лет;
$P$ — первоначальная сумма вклада, в нашем случае $1500$ р.;
$r$ — годовая процентная ставка, в нашем случае $5\%$;
$n$ — количество лет.

Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться, умножаясь на коэффициент $1 + \frac{5}{100} = 1.05$.

1 год:

Чтобы найти сумму на счёте через один год, умножим первоначальный вклад на годовой коэффициент:
$S_1 = 1500 \cdot 1.05 = 1575$ р.

Ответ: 1575 р.

2 года:

Чтобы найти сумму через два года, нужно сумму после первого года снова умножить на коэффициент, либо возвести коэффициент в степень 2:
$S_2 = 1500 \cdot (1.05)^2 = 1500 \cdot 1.1025 = 1653,75$ р.

Ответ: 1653,75 р.

3 года:

Аналогично вычисляем сумму для трёх лет:
$S_3 = 1500 \cdot (1.05)^3 = 1500 \cdot 1.157625 = 1736,4375$ р.

Ответ: 1736,4375 р.

4 года:

Вычисляем сумму для четырёх лет:
$S_4 = 1500 \cdot (1.05)^4 = 1500 \cdot 1.21550625 = 1823,259375$ р.
Если округлить до копеек, получится 1823,26 р.

Ответ: 1823,259375 р.

Запишите формулу для вычисления количества денег на счёте через n лет:

Для вывода общей формулы подставим известные нам значения ($P=1500$ и $r=5$) в стандартную формулу сложных процентов:
$S_n = P \cdot (1 + \frac{r}{100})^n$
$S_n = 1500 \cdot (1 + \frac{5}{100})^n$
Упростив выражение в скобках, получаем итоговую формулу:
$S_n = 1500 \cdot (1.05)^n$

Ответ: $S_n = 1500 \cdot (1.05)^n$