Номер 683, страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 683, страница 264.

683 Найдите значение выражения:

а) $100 + 100x + 100x^2 + 100x^3 + 100x^4$ при $x = 1,1;$

б) $10 - 10x + 10x^2 - 10x^3 + 10x^4 - 10x^5$ при $x = 0,3.$

а) Найдем значение выражения $100 + 100x + 100x^2 + 100x^3 + 100x^4$ при $x = 1,1$.

Сначала вынесем общий множитель 100 за скобки:

$100(1 + x + x^2 + x^3 + x^4)$

Выражение в скобках представляет собой сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, у которой первый член $b_1 = 1$, а знаменатель прогрессии $q = x$. Сумма $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

В нашем случае $n=5$, поэтому сумма в скобках равна:

$S_5 = \frac{1(x^5 - 1)}{x - 1} = \frac{x^5 - 1}{x - 1}$

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде:

$100 \cdot \frac{x^5 - 1}{x - 1}$

Теперь подставим в это выражение значение $x = 1,1$:

$100 \cdot \frac{(1,1)^5 - 1}{1,1 - 1}$

Вычислим $(1,1)^5$:

$(1,1)^2 = 1,21$

$(1,1)^3 = 1,21 \cdot 1,1 = 1,331$

$(1,1)^4 = 1,331 \cdot 1,1 = 1,4641$

$(1,1)^5 = 1,4641 \cdot 1,1 = 1,61051$

Подставим полученное значение в формулу:

$100 \cdot \frac{1,61051 - 1}{0,1} = 100 \cdot \frac{0,61051}{0,1} = 100 \cdot 6,1051 = 610,51$

Ответ: $610,51$.

б) Найдем значение выражения $10 - 10x + 10x^2 - 10x^3 + 10x^4 - 10x^5$ при $x = 0,3$.

Вынесем общий множитель 10 за скобки:

$10(1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5)$

Выражение в скобках представляет собой сумму первых шести членов геометрической прогрессии, у которой первый член $b_1 = 1$, а знаменатель прогрессии $q = -x$. Используем формулу суммы $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

В нашем случае $n=6$, поэтому сумма в скобках равна:

$S_6 = \frac{1(1 - (-x)^6)}{1 - (-x)} = \frac{1 - x^6}{1 + x}$

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде:

$10 \cdot \frac{1 - x^6}{1 + x}$

Подставим в это выражение значение $x = 0,3$:

$10 \cdot \frac{1 - (0,3)^6}{1 + 0,3}$

Вычислим $(0,3)^6$:

$(0,3)^2 = 0,09$

$(0,3)^3 = 0,027$

$(0,3)^6 = (0,3^3)^2 = (0,027)^2 = 0,000729$

Подставим полученное значение в формулу:

$10 \cdot \frac{1 - 0,000729}{1,3} = 10 \cdot \frac{0,999271}{1,3} = \frac{9,99271}{1,3} = 7,6867$

Ответ: $7,6867$.