Номер 676, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 676, страница 263.

676 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Премиальный фонд 32 500 р. надо разделить между четырьмя сотрудниками так, чтобы каждый следующий получил в 1,5 раза больше предыдущего. Сколько получит каждый?

Для решения этой задачи воспользуемся понятием геометрической прогрессии. Пусть премия первого сотрудника равна $x$ рублей. По условию, премия каждого следующего сотрудника в 1,5 раза больше премии предыдущего. Это значит, что суммы премий составляют геометрическую прогрессию со знаменателем $q = 1.5$.

Выразим премии всех четырех сотрудников через $x$:
• 1-й сотрудник: $x$
• 2-й сотрудник: $x \cdot 1.5 = 1.5x$
• 3-й сотрудник: $1.5x \cdot 1.5 = 1.5^2x = 2.25x$
• 4-й сотрудник: $2.25x \cdot 1.5 = 1.5^3x = 3.375x$

Общая сумма премий равна премиальному фонду, то есть 32 500 р. Составим уравнение, сложив премии всех сотрудников:
$x + 1.5x + 2.25x + 3.375x = 32500$

Решим полученное уравнение относительно $x$. Сначала вынесем $x$ за скобки:
$x(1 + 1.5 + 2.25 + 3.375) = 32500$
Вычислим сумму в скобках:
$1 + 1.5 + 2.25 + 3.375 = 8.125$
Теперь уравнение принимает вид:
$8.125x = 32500$
Находим $x$, премию первого сотрудника:
$x = \frac{32500}{8.125} = 4000$

Зная, что первый сотрудник получит 4 000 р., определим премии остальных:
• 2-й сотрудник: $4000 \cdot 1.5 = 6000$ р.
• 3-й сотрудник: $6000 \cdot 1.5 = 9000$ р.
• 4-й сотрудник: $9000 \cdot 1.5 = 13500$ р.
Для проверки можно сложить все суммы: $4000 + 6000 + 9000 + 13500 = 32500$ р., что соответствует общему фонду.

Ответ: первый сотрудник получит 4 000 р., второй — 6 000 р., третий — 9 000 р., а четвертый — 13 500 р.