Номер 679, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 679, страница 263.

679 Сколько последовательных членов геометрической прогрессии 1; -2; 4; -8; 16; ... нужно сложить, чтобы получить сумму, равную:

а) -85;

б) 171?

Данная последовательность является геометрической прогрессией. Найдем её параметры. Первый член прогрессии $b_1 = 1$. Чтобы найти знаменатель прогрессии $q$, разделим второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-2}{1} = -2$.

Формула для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим в эту формулу известные нам значения $b_1 = 1$ и $q = -2$: $S_n = \frac{1 \cdot ((-2)^n - 1)}{-2 - 1} = \frac{(-2)^n - 1}{-3}$.

Теперь мы можем использовать эту формулу для решения задачи.

а)

Нам нужно найти количество членов $n$, сумма которых равна -85. То есть $S_n = -85$. Подставим это значение в выведенную нами формулу суммы: $-85 = \frac{(-2)^n - 1}{-3}$.

Для решения этого уравнения умножим обе его части на -3: $-85 \cdot (-3) = (-2)^n - 1$ $255 = (-2)^n - 1$.

Теперь перенесем -1 в левую часть уравнения, изменив знак: $255 + 1 = (-2)^n$ $256 = (-2)^n$.

Нам нужно найти такое натуральное число $n$, что $(-2)^n = 256$. Поскольку 256 — положительное число, $n$ должно быть четным. Мы знаем, что $2^8 = 256$. Так как $n=8$ — четное число, то $(-2)^8 = 2^8 = 256$. Следовательно, $n = 8$.

Ответ: 8.

б)

Теперь нам нужно найти количество членов $n$, сумма которых равна 171. То есть $S_n = 171$. Снова подставим это значение в формулу суммы: $171 = \frac{(-2)^n - 1}{-3}$.

Умножим обе части уравнения на -3: $171 \cdot (-3) = (-2)^n - 1$ $-513 = (-2)^n - 1$.

Перенесем -1 в левую часть уравнения: $-513 + 1 = (-2)^n$ $-512 = (-2)^n$.

Нам нужно найти такое натуральное число $n$, что $(-2)^n = -512$. Поскольку -512 — отрицательное число, $n$ должно быть нечетным. Мы знаем, что $2^9 = 512$. Так как $n=9$ — нечетное число, то $(-2)^9 = -2^9 = -512$. Следовательно, $n = 9$.

Ответ: 9.