Номер 678, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 678, страница 263.

678 a) Знаменатель геометрической прогрессии равен $-5$, а сумма первых трёх её членов равна $-21$. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

б) Знаменатель геометрической прогрессии равен $\frac{1}{5}$, а сумма первых четырёх её членов равна $62\frac{2}{5}$. Найдите сумму первых двух членов этой прогрессии.

а)

Пусть $(b_n)$ – данная геометрическая прогрессия. По условию, её знаменатель $q = -5$, а сумма первых трёх членов $S_3 = -21$. Требуется найти сумму первых шести членов $S_6$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии определяется формулой $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ – первый член прогрессии.

Сумму первых шести членов можно представить в виде суммы первых трёх и следующих трёх членов:

$S_6 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6 = (b_1 + b_2 + b_3) + (b_4 + b_5 + b_6)$

Первая группа слагаемых – это $S_3$. Во второй группе слагаемых можно вынести за скобки множитель $q^3$, поскольку $b_4 = b_1q^3$, $b_5 = b_2q^3$ и $b_6 = b_3q^3$:

$b_4 + b_5 + b_6 = b_1q^3 + b_2q^3 + b_3q^3 = q^3(b_1 + b_2 + b_3) = q^3 S_3$

Таким образом, мы можем выразить $S_6$ через $S_3$ и $q$:

$S_6 = S_3 + q^3 S_3 = S_3(1 + q^3)$

Теперь подставим известные значения $S_3 = -21$ и $q = -5$ в полученную формулу:

$S_6 = -21 \cdot (1 + (-5)^3) = -21 \cdot (1 + (-125)) = -21 \cdot (1 - 125) = -21 \cdot (-124)$

Вычислим произведение:

$S_6 = 2604$

Ответ: 2604.

б)

По условию, знаменатель геометрической прогрессии $q = \frac{1}{5}$, а сумма её первых четырёх членов $S_4 = 62\frac{2}{5}$. Требуется найти сумму первых двух членов $S_2$.

Для удобства вычислений переведём смешанное число в неправильную дробь:

$S_4 = 62\frac{2}{5} = \frac{62 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{310 + 2}{5} = \frac{312}{5}$

Как и в предыдущем пункте, выразим $S_4$ через $S_2$. Сумма первых четырёх членов равна:

$S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = (b_1 + b_2) + (b_3 + b_4)$

Первая группа слагаемых – это $S_2$. Во второй группе вынесем за скобки множитель $q^2$:

$b_3 + b_4 = b_1q^2 + b_2q^2 = q^2(b_1 + b_2) = q^2 S_2$

Следовательно, связь между $S_4$ и $S_2$ имеет вид:

$S_4 = S_2 + q^2 S_2 = S_2(1 + q^2)$

Из этой формулы выразим искомую сумму $S_2$:

$S_2 = \frac{S_4}{1 + q^2}$

Подставим известные значения $S_4 = \frac{312}{5}$ и $q = \frac{1}{5}$:

$S_2 = \frac{\frac{312}{5}}{1 + (\frac{1}{5})^2} = \frac{\frac{312}{5}}{1 + \frac{1}{25}} = \frac{\frac{312}{5}}{\frac{25}{25} + \frac{1}{25}} = \frac{\frac{312}{5}}{\frac{26}{25}}$

Для деления дробей умножим делимое на дробь, обратную делителю:

$S_2 = \frac{312}{5} \cdot \frac{25}{26} = \frac{312 \cdot 25}{5 \cdot 26} = \frac{312 \cdot 5}{26}$

Выполним вычисления. Разделим 312 на 26: $312 \div 26 = 12$.

$S_2 = 12 \cdot 5 = 60$

Ответ: 60.