Номер 680, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 680, страница 263.

680 Известно, что три целых числа, сумма которых равна 56, составляют геометрическую прогрессию. Первое из этих чисел равно 8. Найдите два других числа.

Пусть три целых числа, составляющие геометрическую прогрессию, это $b_1$, $b_2$ и $b_3$. По условию задачи, первый член прогрессии $b_1 = 8$. Обозначим знаменатель прогрессии буквой $q$.

Тогда второй и третий члены прогрессии можно выразить через первый член и знаменатель:

$b_2 = b_1 \cdot q = 8q$

$b_3 = b_1 \cdot q^2 = 8q^2$

Известно, что сумма этих трех чисел равна 56. Составим и решим уравнение:

$b_1 + b_2 + b_3 = 56$

$8 + 8q + 8q^2 = 56$

Разделим все члены уравнения на 8 для упрощения:

$1 + q + q^2 = 7$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$q^2 + q - 6 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -6, а их сумма равна -1. Подбираем корни: $q_1 = 2$ и $q_2 = -3$.

Поскольку оба найденных значения знаменателя $q$ приводят к целочисленным значениям второго и третьего членов прогрессии, рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: $q = 2$

Найдем два других числа:

$b_2 = 8 \cdot 2 = 16$

$b_3 = 8 \cdot 2^2 = 8 \cdot 4 = 32$

Получилась последовательность 8, 16, 32. Все числа целые. Проверим сумму: $8 + 16 + 32 = 56$. Условие выполнено.

Случай 2: $q = -3$

Найдем два других числа:

$b_2 = 8 \cdot (-3) = -24$

$b_3 = 8 \cdot (-3)^2 = 8 \cdot 9 = 72$

Получилась последовательность 8, -24, 72. Все числа целые. Проверим сумму: $8 + (-24) + 72 = 56$. Условие также выполнено.

Таким образом, задача имеет два набора решений.

Ответ: два других числа — это 16 и 32, или -24 и 72.