Страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

675 Фигура, изображённая на рисунке 4.17, состоит из прямоугольников, причём каждый следующий в 1,5 раза выше предыдущего. Найдите площадь фигуры, если она состоит из 5 прямоугольников; из n прямоугольников.

676 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Премиальный фонд 32 500 р. надо разделить между четырьмя сотрудниками так, чтобы каждый следующий получил в 1,5 раза больше предыдущего. Сколько получит каждый?

677 а) В геометрической прогрессии

$(b_n)$ $b_4=\frac{3}{64}$, $q=\frac{1}{2}$. Найдите $S_8$.

б) Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии, если её пятый член равен $-9$, а знаменатель равен $-3$.

Рис. 4.17

675.

Площади прямоугольников, из которых состоит фигура, образуют геометрическую прогрессию $(A_n)$.

Из рисунка 4.17 видно, что ширина каждого прямоугольника равна $1$. Высота первого прямоугольника (на интервале $x$ от $0$ до $1$) равна $1$. Следовательно, его площадь, которая является первым членом геометрической прогрессии, равна $A_1 = 1 \times 1 = 1$.

По условию, каждый следующий прямоугольник в $1,5$ раза выше предыдущего. Поскольку ширина у всех прямоугольников одинакова, их площади также будут отличаться в $1,5$ раза. Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии $q = 1,5$.

Общая площадь фигуры является суммой площадей прямоугольников, то есть суммой членов геометрической прогрессии. Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{A_1(q^n - 1)}{q - 1}$

1) Найдем площадь фигуры, если она состоит из 5 прямоугольников. В этом случае $n=5$.

$S_5 = \frac{1 \cdot (1,5^5 - 1)}{1,5 - 1} = \frac{7,59375 - 1}{0,5} = \frac{6,59375}{0,5} = 13,1875$.

2) Найдем площадь фигуры, если она состоит из $n$ прямоугольников.

$S_n = \frac{1 \cdot (1,5^n - 1)}{1,5 - 1} = \frac{1,5^n - 1}{0,5} = 2(1,5^n - 1)$.

Ответ: площадь фигуры из 5 прямоугольников равна $13,1875$; площадь фигуры из $n$ прямоугольников равна $2(1,5^n - 1)$.

676.

Размеры премий для четырех сотрудников образуют геометрическую прогрессию. Обозначим премию первого сотрудника как $b_1$. По условию, каждый следующий получает в $1,5$ раза больше предыдущего, значит, знаменатель прогрессии $q = 1,5$.

Премии сотрудников:

• 1-й сотрудник: $b_1$
• 2-й сотрудник: $b_2 = b_1 \cdot 1,5$
• 3-й сотрудник: $b_3 = b_1 \cdot 1,5^2 = b_1 \cdot 2,25$
• 4-й сотрудник: $b_4 = b_1 \cdot 1,5^3 = b_1 \cdot 3,375$

Общий премиальный фонд — это сумма первых четырех членов этой прогрессии $S_4$, которая равна $32\,500$ р.

Найдем сумму $S_4$, используя формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$:

$S_4 = \frac{b_1(1,5^4 - 1)}{1,5 - 1} = \frac{b_1(5,0625 - 1)}{0,5} = \frac{b_1 \cdot 4,0625}{0,5} = 8,125 b_1$.

Составим и решим уравнение:

$8,125 b_1 = 32500$

$b_1 = \frac{32500}{8,125} = 4000$.

Таким образом, премия первого сотрудника составляет $4000$ р.

Теперь рассчитаем премии остальных сотрудников:

$b_2 = 4000 \cdot 1,5 = 6000$ р.

$b_3 = 6000 \cdot 1,5 = 9000$ р.

$b_4 = 9000 \cdot 1,5 = 13500$ р.

Проверка: $4000 + 6000 + 9000 + 13500 = 32500$ р.

Ответ: первый сотрудник получит $4000$ р., второй — $6000$ р., третий — $9000$ р., четвертый — $13500$ р.

677.

а)

В геометрической прогрессии $(b_n)$ даны четвертый член $b_4 = \frac{3}{64}$ и знаменатель $q = \frac{1}{2}$. Требуется найти сумму первых восьми членов $S_8$.

Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$, используя формулу $n$-го члена $b_n = b_1 q^{n-1}$.

$b_4 = b_1 q^3 \implies \frac{3}{64} = b_1 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = b_1 \cdot \frac{1}{8}$.

Отсюда $b_1 = \frac{3}{64} \cdot 8 = \frac{3}{8}$.

Теперь найдем сумму $S_8$ по формуле $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$, которая удобна при $|q|<1$.

$S_8 = \frac{\frac{3}{8}\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^8\right)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{8}\left(1 - \frac{1}{256}\right)}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{8} \cdot \frac{255}{256}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{8} \cdot \frac{255}{256} \cdot 2 = \frac{3 \cdot 255}{4 \cdot 256} = \frac{765}{1024}$.

Ответ: $S_8 = \frac{765}{1024}$.

б)

В геометрической прогрессии даны пятый член $b_5 = -9$ и знаменатель $q = -3$. Требуется найти сумму первых десяти членов $S_{10}$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$:

$b_5 = b_1 q^4 \implies -9 = b_1 (-3)^4 = b_1 \cdot 81$.

Отсюда $b_1 = -\frac{9}{81} = -\frac{1}{9}$.

Теперь найдем сумму $S_{10}$ по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$.

$S_{10} = \frac{-\frac{1}{9}((-3)^{10} - 1)}{-3 - 1} = \frac{-\frac{1}{9}(3^{10} - 1)}{-4} = \frac{3^{10} - 1}{36}$.

Вычислим $3^{10}$: $3^{10} = (3^5)^2 = 243^2 = 59049$.

$S_{10} = \frac{59049 - 1}{36} = \frac{59048}{36}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4:

$S_{10} = \frac{59048 \div 4}{36 \div 4} = \frac{14762}{9}$.

Ответ: $S_{10} = \frac{14762}{9}$.

676 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Премиальный фонд 32 500 р. надо разделить между четырьмя сотрудниками так, чтобы каждый следующий получил в 1,5 раза больше предыдущего. Сколько получит каждый?

Для решения этой задачи воспользуемся понятием геометрической прогрессии. Пусть премия первого сотрудника равна $x$ рублей. По условию, премия каждого следующего сотрудника в 1,5 раза больше премии предыдущего. Это значит, что суммы премий составляют геометрическую прогрессию со знаменателем $q = 1.5$.

Выразим премии всех четырех сотрудников через $x$:
• 1-й сотрудник: $x$
• 2-й сотрудник: $x \cdot 1.5 = 1.5x$
• 3-й сотрудник: $1.5x \cdot 1.5 = 1.5^2x = 2.25x$
• 4-й сотрудник: $2.25x \cdot 1.5 = 1.5^3x = 3.375x$

Общая сумма премий равна премиальному фонду, то есть 32 500 р. Составим уравнение, сложив премии всех сотрудников:
$x + 1.5x + 2.25x + 3.375x = 32500$

Решим полученное уравнение относительно $x$. Сначала вынесем $x$ за скобки:
$x(1 + 1.5 + 2.25 + 3.375) = 32500$
Вычислим сумму в скобках:
$1 + 1.5 + 2.25 + 3.375 = 8.125$
Теперь уравнение принимает вид:
$8.125x = 32500$
Находим $x$, премию первого сотрудника:
$x = \frac{32500}{8.125} = 4000$

Зная, что первый сотрудник получит 4 000 р., определим премии остальных:
• 2-й сотрудник: $4000 \cdot 1.5 = 6000$ р.
• 3-й сотрудник: $6000 \cdot 1.5 = 9000$ р.
• 4-й сотрудник: $9000 \cdot 1.5 = 13500$ р.
Для проверки можно сложить все суммы: $4000 + 6000 + 9000 + 13500 = 32500$ р., что соответствует общему фонду.

Ответ: первый сотрудник получит 4 000 р., второй — 6 000 р., третий — 9 000 р., а четвертый — 13 500 р.

677 a) В геометрической прогрессии $(b_n)$ $b_4 = \frac{3}{64}$, $q = \frac{1}{2}$. Найдите $S_8$.

б) Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии, если её пятый член равен $-9$, а знаменатель равен $-3$.

а)

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, где четвертый член $b_4 = \frac{3}{64}$ и знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$. Требуется найти сумму первых восьми членов прогрессии $S_8$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии.

Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$, используя известные данные для $b_4$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Подставим известные значения:

$\frac{3}{64} = b_1 \cdot (\frac{1}{2})^3$

$\frac{3}{64} = b_1 \cdot \frac{1}{8}$

Отсюда находим $b_1$:

$b_1 = \frac{3}{64} \cdot 8 = \frac{3}{8}$

Теперь воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$. Использование этой версии формулы (с $1-q^n$) удобно, так как $|q| < 1$, что позволяет избежать отрицательных чисел в числителе и знаменателе.

Подставим $n=8$, $b_1=\frac{3}{8}$ и $q=\frac{1}{2}$ в формулу:

$S_8 = \frac{\frac{3}{8}(1 - (\frac{1}{2})^8)}{1 - \frac{1}{2}}$

Вычислим $(\frac{1}{2})^8 = \frac{1}{256}$.

$S_8 = \frac{\frac{3}{8}(1 - \frac{1}{256})}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{8}(\frac{256-1}{256})}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{8} \cdot \frac{255}{256}}{\frac{1}{2}}$

Чтобы разделить на дробь $\frac{1}{2}$, умножим на обратную ей дробь $2$:

$S_8 = \frac{3 \cdot 255}{8 \cdot 256} \cdot 2 = \frac{3 \cdot 255}{4 \cdot 256} = \frac{765}{1024}$

Ответ: $S_8 = \frac{765}{1024}$.

б)

Требуется найти сумму первых десяти членов геометрической прогрессии ($S_{10}$), если её пятый член $b_5 = -9$, а знаменатель $q = -3$.

Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$ по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для $n=5$ имеем: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$.

Подставим известные значения $b_5 = -9$ и $q = -3$:

$-9 = b_1 \cdot (-3)^4$

$-9 = b_1 \cdot 81$

Отсюда находим $b_1$:

$b_1 = \frac{-9}{81} = -\frac{1}{9}$

Теперь воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим $n=10$, $b_1=-\frac{1}{9}$ и $q=-3$ в формулу:

$S_{10} = \frac{-\frac{1}{9}((-3)^{10} - 1)}{-3 - 1}$

Вычислим $(-3)^{10}$. Так как степень четная, результат будет положительным: $(-3)^{10} = 3^{10} = 59049$.

$S_{10} = \frac{-\frac{1}{9}(59049 - 1)}{-4} = \frac{-\frac{1}{9}(59048)}{-4}$

Упростим выражение, сократив знаки минус:

$S_{10} = \frac{\frac{1}{9}(59048)}{4} = \frac{59048}{9 \cdot 4} = \frac{59048}{36}$

Разделим числитель и знаменатель на их общий делитель 4:

$59048 \div 4 = 14762$

$36 \div 4 = 9$

$S_{10} = \frac{14762}{9}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$14762 \div 9 = 1640$ и $2$ в остатке.

$S_{10} = 1640\frac{2}{9}$

Ответ: $S_{10} = 1640\frac{2}{9}$.

678 a) Знаменатель геометрической прогрессии равен $-5$, а сумма первых трёх её членов равна $-21$. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

б) Знаменатель геометрической прогрессии равен $\frac{1}{5}$, а сумма первых четырёх её членов равна $62\frac{2}{5}$. Найдите сумму первых двух членов этой прогрессии.

а)

Пусть $(b_n)$ – данная геометрическая прогрессия. По условию, её знаменатель $q = -5$, а сумма первых трёх членов $S_3 = -21$. Требуется найти сумму первых шести членов $S_6$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии определяется формулой $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ – первый член прогрессии.

Сумму первых шести членов можно представить в виде суммы первых трёх и следующих трёх членов:

$S_6 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6 = (b_1 + b_2 + b_3) + (b_4 + b_5 + b_6)$

Первая группа слагаемых – это $S_3$. Во второй группе слагаемых можно вынести за скобки множитель $q^3$, поскольку $b_4 = b_1q^3$, $b_5 = b_2q^3$ и $b_6 = b_3q^3$:

$b_4 + b_5 + b_6 = b_1q^3 + b_2q^3 + b_3q^3 = q^3(b_1 + b_2 + b_3) = q^3 S_3$

Таким образом, мы можем выразить $S_6$ через $S_3$ и $q$:

$S_6 = S_3 + q^3 S_3 = S_3(1 + q^3)$

Теперь подставим известные значения $S_3 = -21$ и $q = -5$ в полученную формулу:

$S_6 = -21 \cdot (1 + (-5)^3) = -21 \cdot (1 + (-125)) = -21 \cdot (1 - 125) = -21 \cdot (-124)$

Вычислим произведение:

$S_6 = 2604$

Ответ: 2604.

б)

По условию, знаменатель геометрической прогрессии $q = \frac{1}{5}$, а сумма её первых четырёх членов $S_4 = 62\frac{2}{5}$. Требуется найти сумму первых двух членов $S_2$.

Для удобства вычислений переведём смешанное число в неправильную дробь:

$S_4 = 62\frac{2}{5} = \frac{62 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{310 + 2}{5} = \frac{312}{5}$

Как и в предыдущем пункте, выразим $S_4$ через $S_2$. Сумма первых четырёх членов равна:

$S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = (b_1 + b_2) + (b_3 + b_4)$

Первая группа слагаемых – это $S_2$. Во второй группе вынесем за скобки множитель $q^2$:

$b_3 + b_4 = b_1q^2 + b_2q^2 = q^2(b_1 + b_2) = q^2 S_2$

Следовательно, связь между $S_4$ и $S_2$ имеет вид:

$S_4 = S_2 + q^2 S_2 = S_2(1 + q^2)$

Из этой формулы выразим искомую сумму $S_2$:

$S_2 = \frac{S_4}{1 + q^2}$

Подставим известные значения $S_4 = \frac{312}{5}$ и $q = \frac{1}{5}$:

$S_2 = \frac{\frac{312}{5}}{1 + (\frac{1}{5})^2} = \frac{\frac{312}{5}}{1 + \frac{1}{25}} = \frac{\frac{312}{5}}{\frac{25}{25} + \frac{1}{25}} = \frac{\frac{312}{5}}{\frac{26}{25}}$

Для деления дробей умножим делимое на дробь, обратную делителю:

$S_2 = \frac{312}{5} \cdot \frac{25}{26} = \frac{312 \cdot 25}{5 \cdot 26} = \frac{312 \cdot 5}{26}$

Выполним вычисления. Разделим 312 на 26: $312 \div 26 = 12$.

$S_2 = 12 \cdot 5 = 60$

Ответ: 60.

679 Сколько последовательных членов геометрической прогрессии 1; -2; 4; -8; 16; ... нужно сложить, чтобы получить сумму, равную:

а) -85;

б) 171?

Данная последовательность является геометрической прогрессией. Найдем её параметры. Первый член прогрессии $b_1 = 1$. Чтобы найти знаменатель прогрессии $q$, разделим второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-2}{1} = -2$.

Формула для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим в эту формулу известные нам значения $b_1 = 1$ и $q = -2$: $S_n = \frac{1 \cdot ((-2)^n - 1)}{-2 - 1} = \frac{(-2)^n - 1}{-3}$.

Теперь мы можем использовать эту формулу для решения задачи.

а)

Нам нужно найти количество членов $n$, сумма которых равна -85. То есть $S_n = -85$. Подставим это значение в выведенную нами формулу суммы: $-85 = \frac{(-2)^n - 1}{-3}$.

Для решения этого уравнения умножим обе его части на -3: $-85 \cdot (-3) = (-2)^n - 1$ $255 = (-2)^n - 1$.

Теперь перенесем -1 в левую часть уравнения, изменив знак: $255 + 1 = (-2)^n$ $256 = (-2)^n$.

Нам нужно найти такое натуральное число $n$, что $(-2)^n = 256$. Поскольку 256 — положительное число, $n$ должно быть четным. Мы знаем, что $2^8 = 256$. Так как $n=8$ — четное число, то $(-2)^8 = 2^8 = 256$. Следовательно, $n = 8$.

Ответ: 8.

б)

Теперь нам нужно найти количество членов $n$, сумма которых равна 171. То есть $S_n = 171$. Снова подставим это значение в формулу суммы: $171 = \frac{(-2)^n - 1}{-3}$.

Умножим обе части уравнения на -3: $171 \cdot (-3) = (-2)^n - 1$ $-513 = (-2)^n - 1$.

Перенесем -1 в левую часть уравнения: $-513 + 1 = (-2)^n$ $-512 = (-2)^n$.

Нам нужно найти такое натуральное число $n$, что $(-2)^n = -512$. Поскольку -512 — отрицательное число, $n$ должно быть нечетным. Мы знаем, что $2^9 = 512$. Так как $n=9$ — нечетное число, то $(-2)^9 = -2^9 = -512$. Следовательно, $n = 9$.

Ответ: 9.

680 Известно, что три целых числа, сумма которых равна 56, составляют геометрическую прогрессию. Первое из этих чисел равно 8. Найдите два других числа.

Пусть три целых числа, составляющие геометрическую прогрессию, это $b_1$, $b_2$ и $b_3$. По условию задачи, первый член прогрессии $b_1 = 8$. Обозначим знаменатель прогрессии буквой $q$.

Тогда второй и третий члены прогрессии можно выразить через первый член и знаменатель:

$b_2 = b_1 \cdot q = 8q$

$b_3 = b_1 \cdot q^2 = 8q^2$

Известно, что сумма этих трех чисел равна 56. Составим и решим уравнение:

$b_1 + b_2 + b_3 = 56$

$8 + 8q + 8q^2 = 56$

Разделим все члены уравнения на 8 для упрощения:

$1 + q + q^2 = 7$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$q^2 + q - 6 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -6, а их сумма равна -1. Подбираем корни: $q_1 = 2$ и $q_2 = -3$.

Поскольку оба найденных значения знаменателя $q$ приводят к целочисленным значениям второго и третьего членов прогрессии, рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: $q = 2$

Найдем два других числа:

$b_2 = 8 \cdot 2 = 16$

$b_3 = 8 \cdot 2^2 = 8 \cdot 4 = 32$

Получилась последовательность 8, 16, 32. Все числа целые. Проверим сумму: $8 + 16 + 32 = 56$. Условие выполнено.

Случай 2: $q = -3$

Найдем два других числа:

$b_2 = 8 \cdot (-3) = -24$

$b_3 = 8 \cdot (-3)^2 = 8 \cdot 9 = 72$

Получилась последовательность 8, -24, 72. Все числа целые. Проверим сумму: $8 + (-24) + 72 = 56$. Условие также выполнено.

Таким образом, задача имеет два набора решений.

Ответ: два других числа — это 16 и 32, или -24 и 72.