Страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

ДЕЙСТВУЕМ ПО ФОРМУЛЕ (664–666)

664 a) Дана геометрическая прогрессия 3; 6; 12; ... . Найдите $S_6$; $S_n$.

б) Дана геометрическая прогрессия 1; $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{8}$; ... . Найдите $S_8$; $S_n$.

а)

Дана геометрическая прогрессия $b_n$, где первые члены равны 3; 6; 12; ...
Найдем первый член и знаменатель прогрессии.

Первый член прогрессии: $b_1 = 3$.
Знаменатель прогрессии $q$ найдем, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{3} = 2$.

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим наши значения $b_1 = 3$ и $q = 2$ в эту формулу, чтобы найти $S_n$ для данной прогрессии:

$S_n = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1} = \frac{3(2^n - 1)}{1} = 3(2^n - 1)$.

Теперь найдем сумму первых 6 членов прогрессии $S_6$, подставив $n=6$ в полученную формулу:

$S_6 = 3(2^6 - 1) = 3(64 - 1) = 3 \cdot 63 = 189$.

Ответ: $S_6 = 189$; $S_n = 3(2^n - 1)$.

б)

Дана геометрическая прогрессия $b_n$, где первые члены равны 1; $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{8}$; ...
Найдем первый член и знаменатель прогрессии.

Первый член прогрессии: $b_1 = 1$.
Знаменатель прогрессии $q$ найдем, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$.

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии (удобнее использовать вариант для $|q|<1$):

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

Подставим наши значения $b_1 = 1$ и $q = \frac{1}{2}$ в эту формулу, чтобы найти $S_n$ для данной прогрессии:

$S_n = \frac{1(1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - (\frac{1}{2})^n}{\frac{1}{2}} = 2(1 - (\frac{1}{2})^n)$.

Теперь найдем сумму первых 8 членов прогрессии $S_8$, подставив $n=8$ в полученную формулу:

$S_8 = 2(1 - (\frac{1}{2})^8) = 2(1 - \frac{1}{256}) = 2(\frac{256 - 1}{256}) = 2 \cdot \frac{255}{256} = \frac{255}{128}$.

Это можно записать как смешанную дробь: $\frac{255}{128} = 1\frac{127}{128}$.

Ответ: $S_8 = \frac{255}{128}$; $S_n = 2(1 - (\frac{1}{2})^n)$.

665 Запишите выражение для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

а) $b_1 = 1, q = 5;$

б) $b_1 = 1, q = \frac{1}{3};$

Формула для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) имеет вид:$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ – первый член прогрессии, $q$ – её знаменатель, и $q \ne 1$.

а) По условию дано: первый член прогрессии $b_1 = 1$ и знаменатель $q = 5$.
Подставим эти значения в формулу суммы:
$S_n = \frac{1 \cdot (5^n - 1)}{5 - 1}$
Упростим выражение в знаменателе:
$S_n = \frac{5^n - 1}{4}$
Это и есть искомое выражение для суммы первых $n$ членов.
Ответ: $S_n = \frac{5^n - 1}{4}$.

б) По условию дано: первый член прогрессии $b_1 = 1$ и знаменатель $q = \frac{1}{3}$.
Когда знаменатель $|q| < 1$, удобнее использовать эквивалентную формулу: $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.
Подставим данные значения в эту формулу:
$S_n = \frac{1 \cdot (1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}}$
Упростим знаменатель: $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
$S_n = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{\frac{2}{3}}$
Разделить на дробь $\frac{2}{3}$ – это то же самое, что умножить на обратную ей дробь $\frac{3}{2}$:
$S_n = \frac{3}{2} \cdot (1 - (\frac{1}{3})^n)$
Выражение также можно записать в виде $S_n = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n})$.
Ответ: $S_n = \frac{3}{2}(1 - (\frac{1}{3})^n)$.

666 Выпишите первые пять членов геометрической прогрессии (b_n), заданной формулой n-го члена, и найдите их сумму:

а)

Дана формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$.

Это геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1 = 6$ и знаменатель $q = \frac{2}{3}$.

Для нахождения первых пяти членов прогрессии подставим в формулу значения $n$ от 1 до 5:

$b_1 = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{1-1} = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 6 \cdot 1 = 6$

$b_2 = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2-1} = 6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{3} = 4$

$b_3 = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{3-1} = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 6 \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$

$b_4 = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{4-1} = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 = 6 \cdot \frac{8}{27} = \frac{48}{27} = \frac{16}{9}$

$b_5 = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{5-1} = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 6 \cdot \frac{16}{81} = \frac{96}{81} = \frac{32}{27}$

Первые пять членов прогрессии: $6; 4; \frac{8}{3}; \frac{16}{9}; \frac{32}{27}$.

Для нахождения суммы первых пяти членов $S_5$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Подставим значения $b_1 = 6$, $q = \frac{2}{3}$, $n=5$:

$S_5 = \frac{6 \cdot \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^5\right)}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{6 \cdot \left(1 - \frac{32}{243}\right)}{\frac{1}{3}} = \frac{6 \cdot \left(\frac{243-32}{243}\right)}{\frac{1}{3}} = \frac{6 \cdot \frac{211}{243}}{\frac{1}{3}} = 6 \cdot \frac{211}{243} \cdot 3 = 18 \cdot \frac{211}{243} = \frac{18 \cdot 211}{243} = \frac{2 \cdot 211}{27} = \frac{422}{27}$.

Ответ: первые пять членов: $6; 4; \frac{8}{3}; \frac{16}{9}; \frac{32}{27}$; их сумма: $\frac{422}{27}$.

б)

Дана формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}$.

Это геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1 = -\frac{2}{81}$ и знаменатель $q = \frac{3}{2}$.

Для нахождения первых пяти членов прогрессии подставим в формулу значения $n$ от 1 до 5:

$b_1 = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{1-1} = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^0 = -\frac{2}{81} \cdot 1 = -\frac{2}{81}$

$b_2 = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{2-1} = -\frac{2}{81} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{81} = -\frac{1}{27}$

$b_3 = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{3-1} = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 = -\frac{2}{81} \cdot \frac{9}{4} = -\frac{18}{324} = -\frac{1}{18}$

$b_4 = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{4-1} = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^3 = -\frac{2}{81} \cdot \frac{27}{8} = -\frac{54}{648} = -\frac{1}{12}$

$b_5 = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{5-1} = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^4 = -\frac{2}{81} \cdot \frac{81}{16} = -\frac{2}{16} = -\frac{1}{8}$

Первые пять членов прогрессии: $-\frac{2}{81}; -\frac{1}{27}; -\frac{1}{18}; -\frac{1}{12}; -\frac{1}{8}$.

Для нахождения суммы первых пяти членов $S_5$ воспользуемся формулой (удобной при $q>1$):

$S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$

Подставим значения $b_1 = -\frac{2}{81}$, $q = \frac{3}{2}$, $n=5$:

$S_5 = \frac{-\frac{2}{81} \cdot \left(\left(\frac{3}{2}\right)^5 - 1\right)}{\frac{3}{2} - 1} = \frac{-\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{243}{32} - 1\right)}{\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{243-32}{32}\right)}{\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{2}{81} \cdot \frac{211}{32}}{\frac{1}{2}} = -\frac{2}{81} \cdot \frac{211}{32} \cdot 2 = -\frac{4}{81} \cdot \frac{211}{32} = -\frac{4 \cdot 211}{81 \cdot 32} = -\frac{211}{81 \cdot 8} = -\frac{211}{648}$.

Ответ: первые пять членов: $-\frac{2}{81}; -\frac{1}{27}; -\frac{1}{18}; -\frac{1}{12}; -\frac{1}{8}$; их сумма: $-\frac{211}{648}$.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (667–668)

667 Определите, сколько зёрен пшеницы должен был отдать принц из описанной в тексте легенды за половину шахматной доски.

Задача основана на известной легенде о шахматах и зерне. Согласно этой легенде, в награду за изобретение шахмат мудрец попросил положить на первую клетку шахматной доски одно зерно, на вторую — два, на третью — четыре, и так далее, удваивая количество зерен на каждой следующей клетке. Нам нужно определить, сколько зерен придется отдать за половину шахматной доски.

Стандартная шахматная доска имеет 64 клетки, значит, ее половина составляет 32 клетки.

Количество зерен на каждой клетке образует геометрическую прогрессию, где первый член $b_1 = 1$ (одно зерно на первой клетке), а знаменатель прогрессии $q = 2$ (количество удваивается).

Чтобы найти общее количество зерен, необходимо вычислить сумму первых 32 членов этой прогрессии. Формула для суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

В нашем случае $n = 32$, $b_1 = 1$, и $q = 2$. Подставим эти значения в формулу:

$S_{32} = \frac{1 \cdot (2^{32} - 1)}{2 - 1} = 2^{32} - 1$

Теперь вычислим значение $2^{32}$:

$2^{10} = 1024$

$2^{32} = (2^{10})^3 \cdot 2^2 = 1024^3 \cdot 4$

Для более точного вычисления воспользуемся тем, что $2^{32} = (2^{16})^2$.

$2^{16} = 65536$

$2^{32} = 65536^2 = 4294967296$

Теперь мы можем найти искомую сумму зерен:

$S_{32} = 4294967296 - 1 = 4294967295$

Таким образом, за половину шахматной доски принц должен был отдать 4 294 967 295 зерен пшеницы.

Ответ: $4294967295$ зерен.

668 Во время колебательного движения расстояния, которые проходит маятник, уменьшаются с каждым следующим качанием. Если маятник движется так, как описано в задаче 651 из II. 4.4, то какое расстояние он пройдёт за 10 качаний?

Для решения данной задачи необходимо обратиться к условиям задачи 651, на которую дана ссылка. В задаче 651 указано, что расстояние, которое проходит маятник за первое качание, составляет 20 см, а за каждое следующее качание он проходит расстояние, равное 0,8 от предыдущего.

Таким образом, мы имеем дело с геометрической прогрессией, где каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. Расстояния, проходимые маятником за каждое качание, являются членами этой прогрессии.

Определим параметры этой геометрической прогрессии:

Первый член прогрессии $b_1$ (расстояние за первое качание) равен 20 см.

Знаменатель прогрессии $q$, показывающий, во сколько раз уменьшается расстояние с каждым качанием, равен 0,8.

Нам необходимо найти общее расстояние, которое маятник пройдет за 10 качаний. Это расстояние является суммой первых 10 членов данной геометрической прогрессии ($S_{10}$).

Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

Подставим в эту формулу наши значения: $n = 10$, $b_1 = 20$ и $q = 0,8$.

$S_{10} = \frac{20(1 - 0,8^{10})}{1 - 0,8}$

Выполним вычисления по шагам. Сначала вычислим знаменатель дроби:

$1 - 0,8 = 0,2$

Теперь вычислим $0,8^{10}$. Это можно сделать с помощью калькулятора:

$0,8^{10} \approx 0,107374$

Теперь подставим полученные значения обратно в формулу для суммы:

$S_{10} \approx \frac{20(1 - 0,107374)}{0,2}$

$S_{10} \approx \frac{20 \cdot 0,892626}{0,2}$

Разделив 20 на 0,2, мы получим 100:

$S_{10} \approx 100 \cdot 0,892626$

$S_{10} \approx 89,2626$

Округлив результат до сотых, получаем, что маятник за 10 качаний пройдет расстояние примерно 89,26 см.

Ответ: $\approx 89,26$ см.