Номер 665, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 665, страница 261.

665 Запишите выражение для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

а) $b_1 = 1, q = 5;$

б) $b_1 = 1, q = \frac{1}{3};$

Формула для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) имеет вид:$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ – первый член прогрессии, $q$ – её знаменатель, и $q \ne 1$.

а) По условию дано: первый член прогрессии $b_1 = 1$ и знаменатель $q = 5$.
Подставим эти значения в формулу суммы:
$S_n = \frac{1 \cdot (5^n - 1)}{5 - 1}$
Упростим выражение в знаменателе:
$S_n = \frac{5^n - 1}{4}$
Это и есть искомое выражение для суммы первых $n$ членов.
Ответ: $S_n = \frac{5^n - 1}{4}$.

б) По условию дано: первый член прогрессии $b_1 = 1$ и знаменатель $q = \frac{1}{3}$.
Когда знаменатель $|q| < 1$, удобнее использовать эквивалентную формулу: $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.
Подставим данные значения в эту формулу:
$S_n = \frac{1 \cdot (1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}}$
Упростим знаменатель: $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
$S_n = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{\frac{2}{3}}$
Разделить на дробь $\frac{2}{3}$ – это то же самое, что умножить на обратную ей дробь $\frac{3}{2}$:
$S_n = \frac{3}{2} \cdot (1 - (\frac{1}{3})^n)$
Выражение также можно записать в виде $S_n = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n})$.
Ответ: $S_n = \frac{3}{2}(1 - (\frac{1}{3})^n)$.