Номер 670, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 670, страница 262.

670 Почтальон заметил, что за 5 дней до праздника число разносимых им писем увеличивается ежедневно в 1,5 раза. Сколько всего писем разнесёт почтальон за пять предпраздничных дней, если в первый из них он разнёс 32 письма?

Данная задача описывает геометрическую прогрессию, где каждый последующий член в 1,5 раза больше предыдущего. Нам необходимо найти сумму первых пяти членов этой прогрессии.

Определим параметры геометрической прогрессии:

• Первый член прогрессии $b_1$ (количество писем в первый день) = 32.
• Знаменатель прогрессии $q$ (коэффициент увеличения) = 1,5.
• Количество членов прогрессии $n$ (число дней) = 5.

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим наши значения в формулу, чтобы найти сумму писем за 5 дней ($S_5$):
$S_5 = \frac{32(1.5^5 - 1)}{1.5 - 1}$

Проведем вычисления. Для удобства можно представить $1.5$ как дробь $\frac{3}{2}$:
$1.5^5 = (\frac{3}{2})^5 = \frac{3^5}{2^5} = \frac{243}{32}$

Теперь подставим полученное значение обратно в формулу суммы:
$S_5 = \frac{32(\frac{243}{32} - 1)}{1.5 - 1} = \frac{32(\frac{243 - 32}{32})}{0.5} = \frac{32(\frac{211}{32})}{0.5}$

Сокращаем 32 в числителе:
$S_5 = \frac{211}{0.5}$

Деление на 0,5 эквивалентно умножению на 2:
$S_5 = 211 \times 2 = 422$

Таким образом, за пять предпраздничных дней почтальон разнесет 422 письма.

Ответ: 422 письма.