Номер 667, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 667, страница 261.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (667–668)

667 Определите, сколько зёрен пшеницы должен был отдать принц из описанной в тексте легенды за половину шахматной доски.

Задача основана на известной легенде о шахматах и зерне. Согласно этой легенде, в награду за изобретение шахмат мудрец попросил положить на первую клетку шахматной доски одно зерно, на вторую — два, на третью — четыре, и так далее, удваивая количество зерен на каждой следующей клетке. Нам нужно определить, сколько зерен придется отдать за половину шахматной доски.

Стандартная шахматная доска имеет 64 клетки, значит, ее половина составляет 32 клетки.

Количество зерен на каждой клетке образует геометрическую прогрессию, где первый член $b_1 = 1$ (одно зерно на первой клетке), а знаменатель прогрессии $q = 2$ (количество удваивается).

Чтобы найти общее количество зерен, необходимо вычислить сумму первых 32 членов этой прогрессии. Формула для суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

В нашем случае $n = 32$, $b_1 = 1$, и $q = 2$. Подставим эти значения в формулу:

$S_{32} = \frac{1 \cdot (2^{32} - 1)}{2 - 1} = 2^{32} - 1$

Теперь вычислим значение $2^{32}$:

$2^{10} = 1024$

$2^{32} = (2^{10})^3 \cdot 2^2 = 1024^3 \cdot 4$

Для более точного вычисления воспользуемся тем, что $2^{32} = (2^{16})^2$.

$2^{16} = 65536$

$2^{32} = 65536^2 = 4294967296$

Теперь мы можем найти искомую сумму зерен:

$S_{32} = 4294967296 - 1 = 4294967295$

Таким образом, за половину шахматной доски принц должен был отдать 4 294 967 295 зерен пшеницы.

Ответ: $4294967295$ зерен.