Номер 660, страница 257 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 660, страница 257.

РАССУЖДАЕМ (660–662)

660 а) Между числами $3$ и $27$ вставьте три числа так, чтобы вместе с данными они образовывали геометрическую прогрессию.

б) Между числами $0,2$ и $12,8$ вставьте два числа так, чтобы вместе с данными числами они образовывали геометрическую прогрессию.

а) Пусть искомые числа вместе с данными образуют геометрическую прогрессию $(b_n)$.
В этой прогрессии первый член $b_1 = 3$.
Так как между числами 3 и 27 нужно вставить три числа, то всего в прогрессии будет $1 + 3 + 1 = 5$ членов. Значит, число 27 является пятым членом прогрессии, то есть $b_5 = 27$.
Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ – знаменатель прогрессии.
Подставим известные значения в формулу для $n=5$:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$
$27 = 3 \cdot q^4$
Разделим обе части уравнения на 3:
$q^4 = \frac{27}{3}$
$q^4 = 9$
Это уравнение имеет два действительных решения для $q$: $q^2 = 3$, откуда $q = \sqrt{3}$ или $q = -\sqrt{3}$.
Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: Знаменатель прогрессии $q = \sqrt{3}$.
Найдём вставляемые числа, которые являются вторым, третьим и четвертым членами прогрессии:
$b_2 = b_1 \cdot q = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
$b_3 = b_2 \cdot q = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9$
$b_4 = b_3 \cdot q = 9 \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$
Проверим пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9 \cdot 3 = 27$. Всё верно.
Таким образом, одна последовательность вставляемых чисел: $3\sqrt{3}, 9, 9\sqrt{3}$.

Случай 2: Знаменатель прогрессии $q = -\sqrt{3}$.
Найдём вставляемые числа:
$b_2 = b_1 \cdot q = 3 \cdot (-\sqrt{3}) = -3\sqrt{3}$
$b_3 = b_2 \cdot q = -3\sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = 3 \cdot 3 = 9$
$b_4 = b_3 \cdot q = 9 \cdot (-\sqrt{3}) = -9\sqrt{3}$
Проверим пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = -9\sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = 9 \cdot 3 = 27$. Всё верно.
Таким образом, вторая последовательность вставляемых чисел: $-3\sqrt{3}, 9, -9\sqrt{3}$.

Ответ: $3\sqrt{3}, 9, 9\sqrt{3}$ или $-3\sqrt{3}, 9, -9\sqrt{3}$.

б) Пусть искомые числа вместе с данными образуют геометрическую прогрессию $(b_n)$.
Первый член этой прогрессии $b_1 = 0,2$.
Между числами 0,2 и 12,8 нужно вставить два числа, значит, всего в прогрессии будет $1 + 2 + 1 = 4$ члена. Число 12,8 является четвертым членом прогрессии, $b_4 = 12,8$.
Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
При $n=4$ имеем:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1}$
$12,8 = 0,2 \cdot q^3$
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q^3 = \frac{12,8}{0,2} = \frac{128}{2} = 64$
$q = \sqrt[3]{64} = 4$
Теперь найдем два вставляемых числа, которые являются вторым и третьим членами прогрессии:
$b_2 = b_1 \cdot q = 0,2 \cdot 4 = 0,8$
$b_3 = b_2 \cdot q = 0,8 \cdot 4 = 3,2$
Проверим четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = 3,2 \cdot 4 = 12,8$. Всё верно.

Ответ: $0,8$ и $3,2$.