Номер 674, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 674, страница 262.

674 Ниже приведена классическая задача, которая существует с самыми разными фабулами. Ситуация, описанная в данном случае, возникла в те времена, когда основным средством быстрой передачи информации на дальние расстояния был телеграф.

Телеграфистке поручено передать важную информацию трём другим телеграфисткам. Каждая из них, в свою очередь, должна передать сообщение трём другим телеграфисткам и т. д. На выполнение поручения у каждой телеграфистки уходит 6 мин. Сколько телеграфисток будет знать информацию через полчаса?

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько циклов передачи информации произойдет за полчаса, и как будет расти количество людей, знающих информацию, на каждом цикле.

1. Определим количество циклов передачи информации.

Общее время составляет полчаса, что равно 30 минутам. Каждый цикл передачи (когда одна телеграфистка передает сообщение трем другим) занимает 6 минут.
Количество циклов (шагов) за 30 минут: $30 \text{ мин} \div 6 \text{ мин/шаг} = 5 \text{ шагов}$

2. Проанализируем, как растет число знающих телеграфисток.

Этот процесс представляет собой сумму членов геометрической прогрессии.

• В начальный момент (0 минут): 1 телеграфистка знает информацию.
• Шаг 1 (через 6 минут): Первая телеграфистка сообщает трем другим. Количество новых людей, узнавших информацию, равно 3. Общее число знающих: $1 + 3 = 4$ телеграфистки.
• Шаг 2 (через 12 минут): Каждая из 3-х новых телеграфисток сообщает еще трем. Количество новых людей: $3 \times 3 = 9$. Общее число знающих: $1 + 3 + 9 = 13$ телеграфисток.
• Шаг 3 (через 18 минут): Каждая из 9-ти новых телеграфисток сообщает еще трем. Количество новых людей: $9 \times 3 = 27$. Общее число знающих: $1 + 3 + 9 + 27 = 40$ телеграфисток.
• Шаг 4 (через 24 минуты): Каждая из 27-ми новых телеграфисток сообщает еще трем. Количество новых людей: $27 \times 3 = 81$. Общее число знающих: $1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121$ телеграфистка.
• Шаг 5 (через 30 минут): Каждая из 81-й новой телеграфистки сообщает еще трем. Количество новых людей: $81 \times 3 = 243$. Общее число знающих: $1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364$ телеграфистки.

3. Используем формулу суммы геометрической прогрессии.

Общее количество телеграфисток, знающих информацию, можно найти как сумму членов геометрической прогрессии: $S = 1 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5$
Здесь первый член $b_1 = 1$, знаменатель прогрессии $q = 3$, а количество членов $n = 6$ (начальная телеграфистка плюс 5 шагов).
Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
Подставим наши значения: $S_6 = \frac{1 \cdot (3^6 - 1)}{3 - 1} = \frac{729 - 1}{2} = \frac{728}{2} = 364$

Ответ: Через полчаса информацию будут знать 364 телеграфистки.