Номер 681, страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 681, страница 264.

681 a) Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии ($b_n$), если известно два её члена: $b_2 = -8$ и $b_8 = -\frac{1}{8}$.

б) Известно два члена геометрической прогрессии ($b_n$): $b_3 = 2$, $b_6 = -54$. Найдите $S_6$.

а)

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, в которой известны два члена: $b_2 = -8$ и $b_8 = -{1 \over 8}$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ – первый член прогрессии, а $q$ – её знаменатель.

На основе этой формулы и данных задачи составим систему уравнений:

$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q = -8$

$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = b_1 \cdot q^7 = -{1 \over 8}$

Для нахождения знаменателя $q$, разделим второе уравнение на первое:

${b_1 \cdot q^7 \over b_1 \cdot q} = { -{1 \over 8} \over -8 }$

$q^6 = {1 \over 64}$

Так как показатель степени 6 является четным числом, это уравнение имеет два действительных корня для $q$:

$q_1 = \sqrt[6]{1 \over 64} = {1 \over 2}$ и $q_2 = -\sqrt[6]{1 \over 64} = -{1 \over 2}$.

Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: $q = {1 \over 2}$

Найдем $b_1$ из первого уравнения: $b_1 \cdot q = -8$.

$b_1 \cdot {1 \over 2} = -8 \Rightarrow b_1 = -16$.

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = {b_1(q^n - 1) \over q - 1}$.

Вычислим сумму первых восьми членов $S_8$:

$S_8 = {-16 \cdot (({1 \over 2})^8 - 1) \over {1 \over 2} - 1} = {-16 \cdot ({1 \over 256} - 1) \over -{1 \over 2}} = { -16 \cdot (-{255 \over 256}) \over -{1 \over 2} } = { {255 \over 16} \over -{1 \over 2} } = -{255 \over 16} \cdot 2 = -{255 \over 8}$.

Случай 2: $q = -{1 \over 2}$

Найдем $b_1$ из первого уравнения: $b_1 \cdot q = -8$.

$b_1 \cdot (-{1 \over 2}) = -8 \Rightarrow b_1 = 16$.

Вычислим сумму первых восьми членов $S_8$:

$S_8 = {16 \cdot ((-{1 \over 2})^8 - 1) \over -{1 \over 2} - 1} = {16 \cdot ({1 \over 256} - 1) \over -{3 \over 2}} = { 16 \cdot (-{255 \over 256}) \over -{3 \over 2} } = { {255 \over 16} \over {3 \over 2} } = {255 \over 16} \cdot {2 \over 3} = {85 \over 8}$.

Поскольку оба найденных набора параметров $(b_1, q)$ удовлетворяют исходным условиям, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $S_8 = -{255 \over 8}$ или $S_8 = {85 \over 8}$.

б)

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, в которой известны два члена: $b_3 = 2$ и $b_6 = -54$. Необходимо найти $S_6$.

Используем формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ и составим систему уравнений:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2 = 2$

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5 = -54$

Разделим второе уравнение на первое, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$:

${b_1 \cdot q^5 \over b_1 \cdot q^2} = {-54 \over 2}$

$q^3 = -27$

Отсюда находим единственное действительное значение знаменателя: $q = \sqrt[3]{-27} = -3$.

Теперь найдем первый член $b_1$ из уравнения $b_1 \cdot q^2 = 2$:

$b_1 \cdot (-3)^2 = 2$

$b_1 \cdot 9 = 2$

$b_1 = {2 \over 9}$

Найдем сумму первых шести членов $S_6$ по формуле $S_n = {b_1(q^n - 1) \over q - 1}$:

$S_6 = {{2 \over 9} \cdot ((-3)^6 - 1) \over -3 - 1} = {{2 \over 9} \cdot (729 - 1) \over -4} = {{2 \over 9} \cdot 728 \over -4} = {2 \cdot 728 \over 9 \cdot (-4)} = -{728 \over 18} = -{364 \over 9}$.

Ответ: $S_6 = -{364 \over 9}$.