Номер 677, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 677, страница 263.

677 a) В геометрической прогрессии $(b_n)$ $b_4 = \frac{3}{64}$, $q = \frac{1}{2}$. Найдите $S_8$.

б) Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии, если её пятый член равен $-9$, а знаменатель равен $-3$.

а)

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, где четвертый член $b_4 = \frac{3}{64}$ и знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$. Требуется найти сумму первых восьми членов прогрессии $S_8$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии.

Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$, используя известные данные для $b_4$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Подставим известные значения:

$\frac{3}{64} = b_1 \cdot (\frac{1}{2})^3$

$\frac{3}{64} = b_1 \cdot \frac{1}{8}$

Отсюда находим $b_1$:

$b_1 = \frac{3}{64} \cdot 8 = \frac{3}{8}$

Теперь воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$. Использование этой версии формулы (с $1-q^n$) удобно, так как $|q| < 1$, что позволяет избежать отрицательных чисел в числителе и знаменателе.

Подставим $n=8$, $b_1=\frac{3}{8}$ и $q=\frac{1}{2}$ в формулу:

$S_8 = \frac{\frac{3}{8}(1 - (\frac{1}{2})^8)}{1 - \frac{1}{2}}$

Вычислим $(\frac{1}{2})^8 = \frac{1}{256}$.

$S_8 = \frac{\frac{3}{8}(1 - \frac{1}{256})}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{8}(\frac{256-1}{256})}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{8} \cdot \frac{255}{256}}{\frac{1}{2}}$

Чтобы разделить на дробь $\frac{1}{2}$, умножим на обратную ей дробь $2$:

$S_8 = \frac{3 \cdot 255}{8 \cdot 256} \cdot 2 = \frac{3 \cdot 255}{4 \cdot 256} = \frac{765}{1024}$

Ответ: $S_8 = \frac{765}{1024}$.

б)

Требуется найти сумму первых десяти членов геометрической прогрессии ($S_{10}$), если её пятый член $b_5 = -9$, а знаменатель $q = -3$.

Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$ по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для $n=5$ имеем: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$.

Подставим известные значения $b_5 = -9$ и $q = -3$:

$-9 = b_1 \cdot (-3)^4$

$-9 = b_1 \cdot 81$

Отсюда находим $b_1$:

$b_1 = \frac{-9}{81} = -\frac{1}{9}$

Теперь воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим $n=10$, $b_1=-\frac{1}{9}$ и $q=-3$ в формулу:

$S_{10} = \frac{-\frac{1}{9}((-3)^{10} - 1)}{-3 - 1}$

Вычислим $(-3)^{10}$. Так как степень четная, результат будет положительным: $(-3)^{10} = 3^{10} = 59049$.

$S_{10} = \frac{-\frac{1}{9}(59049 - 1)}{-4} = \frac{-\frac{1}{9}(59048)}{-4}$

Упростим выражение, сократив знаки минус:

$S_{10} = \frac{\frac{1}{9}(59048)}{4} = \frac{59048}{9 \cdot 4} = \frac{59048}{36}$

Разделим числитель и знаменатель на их общий делитель 4:

$59048 \div 4 = 14762$

$36 \div 4 = 9$

$S_{10} = \frac{14762}{9}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$14762 \div 9 = 1640$ и $2$ в остатке.

$S_{10} = 1640\frac{2}{9}$

Ответ: $S_{10} = 1640\frac{2}{9}$.