Страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

686 Семья Комаровых взяла в банке потребительский кредит 200 тыс. р. на 24 месяца и оформила страховку от несчастных случаев и болезней заёмщика, стоимость которой составляет 0,4% от первоначальной суммы кредита ежемесячно.

a) Сколько составят страховые выплаты Комаровых за один месяц? за $n$ месяцев после взятия кредита?

б) Через сколько месяцев выплаты за страховку превысят 10 тыс. р.?

а) Сколько составят страховые выплаты Комаровых за один месяц? за n месяцев после взятия кредита?

Для начала найдем размер ежемесячной страховой выплаты. По условию, она составляет 0,4% от первоначальной суммы кредита.

Первоначальная сумма кредита: $S_0 = 200 \text{ тыс. р.} = 200 000 \text{ рублей}$.

Процентная ставка по страховке в месяц: $p = 0,4\%$. Чтобы использовать ее в расчетах, переведем проценты в десятичную дробь: $0,4\% = \frac{0,4}{100} = 0,004$.

Ежемесячная выплата по страховке (обозначим ее как $V_1$) рассчитывается по формуле:

$V_1 = S_0 \cdot 0,004 = 200 000 \cdot 0,004 = 800 \text{ рублей}$.

Таким образом, страховые выплаты за один месяц составляют 800 рублей.

Сумма выплат за $n$ месяцев (обозначим ее как $V_n$) будет равна произведению ежемесячной выплаты на количество месяцев $n$, так как выплата является фиксированной:

$V_n = V_1 \cdot n = 800n \text{ рублей}$.

Ответ: страховые выплаты за один месяц составляют 800 рублей, а за $n$ месяцев — $800n$ рублей.

б) Через сколько месяцев выплаты за страховку превысят 10 тыс. р.?

Нам нужно определить, через какое количество месяцев $n$ общая сумма выплат за страховку $V_n$ превысит 10 тыс. рублей (то есть 10 000 рублей). Для этого составим и решим неравенство:

$V_n > 10 000$

Подставим формулу для $V_n$, полученную в пункте а):

$800n > 10 000$

Разделим обе части неравенства на 800:

$n > \frac{10 000}{800}$

$n > \frac{100}{8}$

$n > 12,5$

Так как количество месяцев $n$ является целым числом, наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, равно 13. Следовательно, через 13 месяцев общая сумма выплат за страховку превысит 10 000 рублей.

Проверка:

• За 12 месяцев сумма выплат составит: $800 \cdot 12 = 9600$ рублей (не превышает 10 000 р.).
• За 13 месяцев сумма выплат составит: $800 \cdot 13 = 10400$ рублей (превышает 10 000 р.).

Ответ: через 13 месяцев.

687 Цена нового автомобиля 360 000 р. При нормальных условиях эксплуатации его продажная стоимость с каждым годом уменьшается на 8% от первоначальной цены.

а) За сколько рублей сможет продать автомобиль его владелец через 5 лет эксплуатации? через $n$ лет эксплуатации?

б) Через сколько лет продажная стоимость автомобиля станет меньше 150 000 р.? Чему будет равна эта стоимость?

а) За сколько рублей сможет продать автомобиль его владелец через 5 лет эксплуатации? через n лет эксплуатации?

Первоначальная цена автомобиля $P_0 = 360\ 000$ рублей.
По условию, продажная стоимость каждый год уменьшается на 8% от первоначальной цены. Это означает, что цена ежегодно снижается на одну и ту же фиксированную сумму.
Найдем величину этого ежегодного уменьшения стоимости:
$D = 360\ 000 \text{ р.} \times 0.08 = 28\ 800 \text{ рублей.}$

Стоимость через 5 лет
Чтобы найти продажную стоимость через 5 лет ($P_5$), нужно из первоначальной цены вычесть общее снижение стоимости за 5 лет:
$P_5 = P_0 - 5 \times D = 360\ 000 - 5 \times 28\ 800 = 360\ 000 - 144\ 000 = 216\ 000$ рублей.

Стоимость через n лет
Для нахождения стоимости через произвольное количество лет n ($P_n$), составим общую формулу, вычитая из начальной цены общее снижение за n лет:
$P_n = P_0 - n \times D$
$P_n = 360\ 000 - 28\ 800 \times n$

Ответ: через 5 лет владелец сможет продать автомобиль за 216 000 рублей; через n лет его стоимость будет определяться формулой $P_n = 360\ 000 - 28\ 800n$ рублей.

б) Через сколько лет продажная стоимость автомобиля станет меньше 150 000 р.? Чему будет равна эта стоимость?

Чтобы определить, через сколько лет n продажная стоимость $P_n$ станет меньше 150 000 рублей, необходимо решить неравенство:
$P_n < 150\ 000$
Подставим выведенную ранее формулу для $P_n$:
$360\ 000 - 28\ 800n < 150\ 000$
Решим это неравенство относительно n:
$360\ 000 - 150\ 000 < 28\ 800n$
$210\ 000 < 28\ 800n$
$n > \frac{210\ 000}{28\ 800}$
$n > \frac{2100}{288} \approx 7.2916...$

Поскольку n — это количество полных лет эксплуатации, оно должно быть целым числом. Наименьшее целое число n, которое больше 7.2916..., это 8. Следовательно, продажная стоимость автомобиля станет меньше 150 000 рублей через 8 лет.

Теперь найдем, чему будет равна эта стоимость по прошествии 8 лет ($P_8$), подставив $n=8$ в нашу формулу:
$P_8 = 360\ 000 - 28\ 800 \times 8 = 360\ 000 - 230\ 400 = 129\ 600$ рублей.

Ответ: продажная стоимость автомобиля станет меньше 150 000 рублей через 8 лет; на тот момент она будет равна 129 600 рублей.

688 В сентябре семья Савельевых заплатила 240 р. за школьные завтраки. В дальнейшем плата за завтраки ежемесячно увеличивалась на 2% от суммы, внесённой в сентябре.

а) Сколько заплатили Савельевы за завтраки в декабре?

б) Сколько всего заплатили за завтраки с сентября по декабрь?

а) Сколько заплатили Савельевы за завтраки в декабре?

По условию, плата за завтраки ежемесячно увеличивалась на 2% от суммы, внесенной в сентябре. Сумма, внесенная в сентябре, составляет 240 рублей.

Сначала найдем величину ежемесячного увеличения. Эта сумма является постоянной и рассчитывается от первоначального платежа:
$240 \text{ р.} \cdot \frac{2}{100} = 240 \cdot 0.02 = 4.8 \text{ р.}$

Это означает, что платежи за каждый месяц образуют арифметическую прогрессию, где первый член $a_1$ (плата за сентябрь) равен 240 р., а разность прогрессии $d$ равна 4.8 р.

Нам необходимо рассчитать плату за декабрь. Сентябрь является первым месяцем ($n=1$), октябрь — вторым ($n=2$), ноябрь — третьим ($n=3$), а декабрь — четвертым ($n=4$). Следовательно, мы ищем четвертый член прогрессии, $a_4$.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим наши значения для декабря ($n=4$):
$a_4 = 240 + (4-1) \cdot 4.8 = 240 + 3 \cdot 4.8 = 240 + 14.4 = 254.4 \text{ р.}$

Ответ: 254.4 рубля.

б) Сколько всего заплатили за завтраки с сентября по декабрь?

Чтобы найти общую сумму, нужно сложить платежи за четыре месяца: с сентября по декабрь включительно. Это соответствует сумме первых четырех членов ($S_4$) найденной ранее арифметической прогрессии.

Найдем платежи за каждый месяц:
Плата за сентябрь ($a_1$): $240$ р.
Плата за октябрь ($a_2$): $240 + 4.8 = 244.8$ р.
Плата за ноябрь ($a_3$): $244.8 + 4.8 = 249.6$ р.
Плата за декабрь ($a_4$): $249.6 + 4.8 = 254.4$ р.

Теперь сложим эти суммы:
$S_4 = 240 + 244.8 + 249.6 + 254.4 = 988.8 \text{ р.}$

В качестве альтернативы можно применить формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Для $n=4$, $a_1=240$ и $a_4=254.4$:
$S_4 = \frac{240 + 254.4}{2} \cdot 4 = \frac{494.4}{2} \cdot 4 = 247.2 \cdot 4 = 988.8 \text{ р.}$

Ответ: 988.8 рубля.

689 Клиент банка внёс 1500 р. на вклад с годовым доходом 5%. Если никакие суммы со счёта не снимаются и никаких дополнительных вложений не делается, то сколько денег будет на счёте через: 1 год; 2 года; 3 года; 4 года? Запишите формулу для вычисления количества денег на счёте через $n$ лет.

Подсказка. Не забудьте, что начисляются сложные проценты.

Для решения этой задачи используется формула сложных процентов. Эта формула применяется, когда проценты за каждый следующий период начисляются на сумму, включающую как первоначальный вклад, так и ранее начисленные проценты.

Общая формула для расчёта сложных процентов выглядит так: $S_n = P \cdot (1 + \frac{r}{100})^n$

В этой формуле:
$S_n$ — итоговая сумма на счёте через $n$ лет;
$P$ — первоначальная сумма вклада, в нашем случае $1500$ р.;
$r$ — годовая процентная ставка, в нашем случае $5\%$;
$n$ — количество лет.

Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться, умножаясь на коэффициент $1 + \frac{5}{100} = 1.05$.

1 год:

Чтобы найти сумму на счёте через один год, умножим первоначальный вклад на годовой коэффициент:
$S_1 = 1500 \cdot 1.05 = 1575$ р.

Ответ: 1575 р.

2 года:

Чтобы найти сумму через два года, нужно сумму после первого года снова умножить на коэффициент, либо возвести коэффициент в степень 2:
$S_2 = 1500 \cdot (1.05)^2 = 1500 \cdot 1.1025 = 1653,75$ р.

Ответ: 1653,75 р.

3 года:

Аналогично вычисляем сумму для трёх лет:
$S_3 = 1500 \cdot (1.05)^3 = 1500 \cdot 1.157625 = 1736,4375$ р.

Ответ: 1736,4375 р.

4 года:

Вычисляем сумму для четырёх лет:
$S_4 = 1500 \cdot (1.05)^4 = 1500 \cdot 1.21550625 = 1823,259375$ р.
Если округлить до копеек, получится 1823,26 р.

Ответ: 1823,259375 р.

Запишите формулу для вычисления количества денег на счёте через n лет:

Для вывода общей формулы подставим известные нам значения ($P=1500$ и $r=5$) в стандартную формулу сложных процентов:
$S_n = P \cdot (1 + \frac{r}{100})^n$
$S_n = 1500 \cdot (1 + \frac{5}{100})^n$
Упростив выражение в скобках, получаем итоговую формулу:
$S_n = 1500 \cdot (1.05)^n$

Ответ: $S_n = 1500 \cdot (1.05)^n$

690 Вкладчик открыл счёт в банке, внеся 2000 р. на вклад, годовой доход по которому равен 12%.

а) Какая сумма будет находиться на счёте: через 1 год; через 2 года; через 5 лет?

б) Через сколько лет сумма на счёте превзойдёт удвоенный начальный вклад? Получите ответ на этот вопрос, последовательно вычисляя суммы вклада по годам.

в) Запишите формулу для вычисления количества денег на счёте через $n$ лет.

Это задача на сложные проценты. Каждый год сумма на счёте увеличивается на 12%, то есть умножается на коэффициент $1 + 12/100 = 1.12$.
Начальная сумма вклада: $S_0 = 2000$ р.

а) Какая сумма будет находиться на счёте: через 1 год; через 2 года; через 5 лет?

Рассчитаем сумму на счёте для каждого периода, последовательно умножая на годовой коэффициент 1.12:

• Через 1 год:
  $S_1 = 2000 \cdot 1.12 = 2240$ р.

• Через 2 года:
  $S_2 = S_1 \cdot 1.12 = 2240 \cdot 1.12 = 2508.80$ р.

• Через 5 лет:
  $S_5 = 2000 \cdot (1.12)^5 = 2000 \cdot 1.76234... \approx 3524.68$ р.

Ответ: через 1 год на счёте будет 2240 р.; через 2 года — 2508,80 р.; через 5 лет — примерно 3524,68 р.

б) Через сколько лет сумма на счёте превзойдёт удвоенный начальный вклад? Получите ответ на этот вопрос, последовательно вычисляя суммы вклада по годам.

Удвоенный начальный вклад составляет $2 \cdot 2000 = 4000$ р.
Нам нужно найти, через сколько полных лет сумма на счёте станет больше 4000 р. Будем последовательно вычислять сумму на конец каждого года.

• Конец 1-го года: $S_1 = 2240$ р. ($< 4000$ р.)

• Конец 2-го года: $S_2 = 2240 \cdot 1.12 = 2508.80$ р. ($< 4000$ р.)

• Конец 3-го года: $S_3 = 2508.80 \cdot 1.12 \approx 2809.86$ р. ($< 4000$ р.)

• Конец 4-го года: $S_4 = 2809.86 \cdot 1.12 \approx 3147.04$ р. ($< 4000$ р.)

• Конец 5-го года: $S_5 = 3147.04 \cdot 1.12 \approx 3524.68$ р. ($< 4000$ р.)

• Конец 6-го года: $S_6 = 3524.68 \cdot 1.12 \approx 3947.64$ р. ($< 4000$ р.)

• Конец 7-го года: $S_7 = 3947.64 \cdot 1.12 \approx 4421.36$ р. ($> 4000$ р.)

Таким образом, сумма на счёте превзойдёт удвоенный начальный вклад после 7 лет.

Ответ: через 7 лет.

в) Запишите формулу для вычисления количества денег на счёте через n лет.

Пусть $S_n$ — это сумма на счёте через $n$ лет, $S_0$ — начальный вклад (2000 р.), а годовой множитель равен 1.12 (соответствует 12% годовых).
Каждый год сумма умножается на 1.12. После $n$ лет начальная сумма будет умножена на этот коэффициент $n$ раз. Это описывается формулой сложных процентов:
$S_n = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n$
Подставив наши значения $S_0 = 2000$ и $p = 12$, получаем:
$S_n = 2000 \cdot (1.12)^n$

Ответ: $S_n = 2000 \cdot (1.12)^n$, где $S_n$ — сумма на счёте в рублях через $n$ лет.

691 В банк внесён вклад в размере 500 р. Выясните, через сколько лет вклад удвоится, если банк выплачивает: $8\%$ годовых; $10\%$; $16\%$. (Воспользуйтесь калькулятором.)

Для решения задачи воспользуемся формулой сложных процентов, которая показывает, как будет расти вклад с учетом ежегодного начисления процентов:

$S_n = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n$

где:

• $S_n$ — итоговая сумма на счете через $n$ лет;
• $S_0$ — первоначальный вклад (в нашем случае $S_0 = 500$ р.);
• $p$ — годовая процентная ставка;
• $n$ — количество лет.

Нам нужно узнать, через сколько лет вклад удвоится. Это означает, что итоговая сумма $S_n$ должна стать равной $2 \cdot S_0$, то есть $2 \cdot 500 = 1000$ р.

Подставим это условие в формулу:

$2 \cdot S_0 = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n$

Разделив обе части уравнения на $S_0$ (которое не равно нулю), мы получим уравнение, не зависящее от начальной суммы вклада:

$2 = (1 + \frac{p}{100})^n$

Теперь нам нужно найти наименьшее целое число лет $n$, при котором это равенство (или неравенство $ (1 + \frac{p}{100})^n \ge 2 $) будет выполняться для каждой из предложенных процентных ставок.

8% годовых;

При ставке $p=8\%$ годовых уравнение принимает вид:

$2 = (1 + \frac{8}{100})^n$

$2 = (1.08)^n$

Чтобы найти $n$, воспользуемся логарифмами. Прологарифмируем обе части по любому основанию, например, по основанию 10:

$\lg(2) = \lg((1.08)^n)$

$\lg(2) = n \cdot \lg(1.08)$

$n = \frac{\lg(2)}{\lg(1.08)}$

С помощью калькулятора находим значения логарифмов: $\lg(2) \approx 0.30103$ и $\lg(1.08) \approx 0.03342$.

$n \approx \frac{0.30103}{0.03342} \approx 9.007$ лет.

Поскольку проценты начисляются раз в год, количество лет должно быть целым числом. Через 9 лет сумма вклада еще не удвоится ($1.08^9 \approx 1.999 < 2$). Удвоение произойдет только по окончании 10-го года ($1.08^{10} \approx 2.159 > 2$).

Ответ: через 10 лет.

10%;

При ставке $p=10\%$ годовых уравнение принимает вид:

$2 = (1 + \frac{10}{100})^n$

$2 = (1.1)^n$

Находим $n$ аналогичным образом:

$n = \frac{\lg(2)}{\lg(1.1)}$

С помощью калькулятора: $\lg(1.1) \approx 0.04139$.

$n \approx \frac{0.30103}{0.04139} \approx 7.27$ лет.

Округляем полученное значение до ближайшего целого в большую сторону, так как через 7 лет вклад еще не удвоится ($1.1^7 \approx 1.949 < 2$). Удвоение произойдет через 8 лет ($1.1^8 \approx 2.144 > 2$).

Ответ: через 8 лет.

16%.

При ставке $p=16\%$ годовых уравнение принимает вид:

$2 = (1 + \frac{16}{100})^n$

$2 = (1.16)^n$

Находим $n$:

$n = \frac{\lg(2)}{\lg(1.16)}$

С помощью калькулятора: $\lg(1.16) \approx 0.06446$.

$n \approx \frac{0.30103}{0.06446} \approx 4.67$ лет.

Округляем до ближайшего целого в большую сторону. Через 4 года вклад не удвоится ($1.16^4 \approx 1.81 < 2$). Это произойдет только через 5 лет ($1.16^5 \approx 2.1 > 2$).

Ответ: через 5 лет.