Страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

705 Определите, через сколько шагов Ахиллес догонит черепаху, вычислив сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии $1000; 100; 10; 1; \frac{1}{10}; \frac{1}{100}; \frac{1}{1000}; \frac{1}{10000}; \dots$

Чтобы определить, через сколько шагов Ахиллес догонит черепаху в рамках знаменитого парадокса Зенона, необходимо вычислить общее расстояние, которое пробежит Ахиллес. Это расстояние представляет собой сумму всех последовательных отрезков, которые он покрывает, чтобы достичь предыдущего местоположения черепахи. Эти отрезки образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Задана последовательность расстояний: $1000; 100; 10; 1; \frac{1}{10}; \frac{1}{100}; \dots$

Для нахождения суммы этой прогрессии определим её ключевые параметры.

Первый член прогрессии $b_1$ — это начальное расстояние между Ахиллесом и черепахой: $b_1 = 1000$.

Знаменатель прогрессии $q$ — это постоянное отношение, во сколько раз каждый следующий член меньше предыдущего. Вычислим его, разделив второй член на первый: $q = \frac{100}{1000} = \frac{1}{10} = 0.1$.

Поскольку модуль знаменателя $|q| = |0.1| < 1$, данная прогрессия является бесконечно убывающей, и её сумму $S$ можно найти по формуле: $S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу, чтобы вычислить общее расстояние (количество шагов): $S = \frac{1000}{1 - 0.1} = \frac{1000}{0.9} = \frac{10000}{9}$.

Для наглядности представим полученную неправильную дробь в виде смешанного числа: $\frac{10000}{9} = 1111\frac{1}{9}$.

Таким образом, Ахиллес догонит черепаху, пробежав в общей сложности $1111\frac{1}{9}$ шагов.

Ответ: $1111\frac{1}{9}$ шагов.

706 Представьте в виде обыкновенной дроби:

а) $0,(7)$;

б) $0,(12)$;

в) $0,1(3)$.

а) Чтобы представить чистую периодическую дробь $0,(7)$ в виде обыкновенной, обозначим ее через $x$.

$x = 0,(7) = 0,777...$

Период дроби состоит из одной цифры. Умножим обе части этого равенства на $10$, чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо:

$10x = 7,777...$

Теперь вычтем из второго равенства первое:

$10x - x = 7,777... - 0,777...$

$9x = 7$

Отсюда находим значение $x$:

$x = \frac{7}{9}$

Ответ: $\frac{7}{9}$

б) Чтобы представить чистую периодическую дробь $0,(12)$ в виде обыкновенной, обозначим ее через $x$.

$x = 0,(12) = 0,121212...$

Период дроби состоит из двух цифр. Умножим обе части этого равенства на $100$, чтобы сдвинуть запятую на два знака вправо:

$100x = 12,121212...$

Вычтем из второго равенства первое:

$100x - x = 12,121212... - 0,121212...$

$99x = 12$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{12}{99}$

Полученную дробь можно сократить. Наибольший общий делитель для числителя и знаменателя равен 3. Разделим числитель и знаменатель на 3:

$x = \frac{12 \div 3}{99 \div 3} = \frac{4}{33}$

Ответ: $\frac{4}{33}$

в) Чтобы представить смешанную периодическую дробь $0,1(3)$ в виде обыкновенной, обозначим ее через $x$.

$x = 0,1(3) = 0,1333...$

Эта дробь имеет одну цифру до периода (1) и одну цифру в периоде (3). Сначала умножим обе части равенства на $10$, чтобы получить дробь, у которой период начинается сразу после запятой:

$10x = 1,333...$

Теперь умножим исходное равенство на $100$, чтобы сдвинуть запятую так, чтобы она оказалась после первого периода:

$100x = 13,333...$

Теперь у нас есть два числа с одинаковой дробной частью. Вычтем из второго полученного равенства первое:

$100x - 10x = 13,333... - 1,333...$

$90x = 12$

Находим $x$:

$x = \frac{12}{90}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 12 и 90 равен 6. Разделим числитель и знаменатель на 6:

$x = \frac{12 \div 6}{90 \div 6} = \frac{2}{15}$

Ответ: $\frac{2}{15}$

707 a) Дан квадрат со стороной $1$. Середины сторон этого квадрата соединены отрезками, и получен новый квадрат. В новый квадрат аналогичным способом вписан ещё один квадрат и т. д. (так, как это сделано на рисунке $4.15$ на с. $256$). Докажите, что сумма площадей получающихся в результате этой процедуры квадратов равна площади исходного квадрата.

б) В равносторонний треугольник со стороной $1$ вписан треугольник, вершинами которого являются середины сторон первого; в этот треугольник тем же способом вписан новый треугольник и т. д. Найдите сумму периметров бесконечной последовательности полученных вписанных треугольников.

а)

Пусть сторона исходного квадрата $K_1$ равна $a_1 = 1$. Его площадь $S_1 = a_1^2 = 1$.

В этот квадрат вписан новый квадрат $K_2$, вершины которого являются серединами сторон квадрата $K_1$. Сторона квадрата $K_2$, обозначим ее $a_2$, является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными половине стороны квадрата $K_1$, то есть $a_1/2 = 1/2$.

По теореме Пифагора найдем квадрат стороны $a_2$:

$a_2^2 = (1/2)^2 + (1/2)^2 = 1/4 + 1/4 = 1/2$.

Площадь второго квадрата $S_2$ равна $a_2^2$, следовательно, $S_2 = 1/2$.

Аналогично, в квадрат $K_2$ вписан квадрат $K_3$. Его площадь $S_3$ будет в два раза меньше площади $S_2$:

$S_3 = S_2 / 2 = (1/2)/2 = 1/4$.

Таким образом, площади получающихся вписанных квадратов ($S_2, S_3, S_4, \dots$) образуют бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = S_2 = 1/2$ и знаменателем $q = S_3/S_2 = (1/4)/(1/2) = 1/2$.

Требуется доказать, что сумма площадей этих вписанных квадратов равна площади исходного квадрата. Найдем сумму этой прогрессии по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1-q}$:

$S = \frac{1/2}{1 - 1/2} = \frac{1/2}{1/2} = 1$.

Сумма площадей равна 1, что в точности равно площади исходного квадрата ($S_1=1$). Утверждение доказано.

Ответ: Сумма площадей вписанных квадратов равна 1, что равно площади исходного квадрата.

б)

Дан равносторонний треугольник $T_1$ со стороной $a_1 = 1$. Его периметр $P_1 = 3 \cdot a_1 = 3$.

В него вписан треугольник $T_2$, вершинами которого являются середины сторон треугольника $T_1$. Стороны треугольника $T_2$ являются средними линиями треугольника $T_1$.

По свойству средней линии, ее длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. Следовательно, сторона треугольника $T_2$ равна $a_2 = a_1/2 = 1/2$. Так как исходный треугольник равносторонний, то и вписанный треугольник $T_2$ также является равносторонним.

Периметр треугольника $T_2$ равен $P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot (1/2) = 3/2$.

Продолжая этот процесс, получаем последовательность периметров вписанных треугольников $P_2, P_3, P_4, \dots$, где каждый следующий член в 2 раза меньше предыдущего:

$P_3 = P_2/2 = 3/4$, $P_4 = P_3/2 = 3/8$, и так далее.

Эта последовательность представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = P_2 = 3/2$ и знаменателем $q = 1/2$.

Найдем сумму этой прогрессии, которая и будет являться суммой периметров всех вписанных треугольников. Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1-q}$:

$S = \frac{3/2}{1 - 1/2} = \frac{3/2}{1/2} = 3$.

Ответ: 3