Страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

719 Последовательность задана формулой: а) $a_n = \frac{n+1}{n}$; б) $b_n = \frac{2n-1}{n}$.

Для каждой последовательности:

1) вычислите первые пять её членов;

2) определите, возрастающей или убывающей является последовательность, и докажите это;

3) найдите какой-нибудь промежуток, которому принадлежат все члены этой последовательности.

а) Для последовательности $a_n = \frac{n+1}{n}$

1) вычислите первые пять её членов;

Для того чтобы найти первые пять членов последовательности, подставим вместо $n$ натуральные числа от 1 до 5:
$a_1 = \frac{1+1}{1} = \frac{2}{1} = 2$
$a_2 = \frac{2+1}{2} = \frac{3}{2}$
$a_3 = \frac{3+1}{3} = \frac{4}{3}$
$a_4 = \frac{4+1}{4} = \frac{5}{4}$
$a_5 = \frac{5+1}{5} = \frac{6}{5}$
Ответ: $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \frac{6}{5}$.

2) определите, возрастающей или убывающей является последовательность, и докажите это;

Сравним значения первых членов: $2 > \frac{3}{2} > \frac{4}{3} > \dots$. Можно предположить, что последовательность является убывающей. Докажем, что $a_{n+1} < a_n$ для любого натурального $n$. Для этого рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$. $a_{n+1} = \frac{(n+1)+1}{n+1} = \frac{n+2}{n+1}$. $a_{n+1} - a_n = \frac{n+2}{n+1} - \frac{n+1}{n} = \frac{n(n+2) - (n+1)^2}{n(n+1)} = \frac{n^2+2n - (n^2+2n+1)}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)}$. Поскольку $n$ — натуральное число, то $n > 0$ и $n+1 > 0$, следовательно, знаменатель $n(n+1)$ всегда положителен. Числитель равен -1, то есть отрицателен. Таким образом, вся дробь $\frac{-1}{n(n+1)}$ отрицательна для любого $n \in \mathbb{N}$. Так как $a_{n+1} - a_n < 0$, то $a_{n+1} < a_n$. Это доказывает, что последовательность является убывающей.
Ответ: последовательность является убывающей.

3) найдите какой-нибудь промежуток, которому принадлежат все члены этой последовательности.

Поскольку последовательность $a_n$ убывающая, её наибольший член — первый: $a_1 = 2$. Значит, все члены последовательности не превосходят 2, то есть $a_n \le 2$. Найдём предел последовательности при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n}) = 1$. Так как последовательность убывает, она ограничена снизу своим пределом. Все члены последовательности больше 1. Таким образом, для любого натурального $n$ выполняется неравенство $1 < a_n \le 2$. Следовательно, все члены последовательности принадлежат промежутку $(1, 2]$.
Ответ: $(1, 2]$.

б) Для последовательности $b_n = \frac{2n-1}{n}$

1) вычислите первые пять её членов;

Для того чтобы найти первые пять членов последовательности, подставим вместо $n$ натуральные числа от 1 до 5:
$b_1 = \frac{2 \cdot 1 - 1}{1} = \frac{1}{1} = 1$
$b_2 = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} = \frac{3}{2}$
$b_3 = \frac{2 \cdot 3 - 1}{3} = \frac{5}{3}$
$b_4 = \frac{2 \cdot 4 - 1}{4} = \frac{7}{4}$
$b_5 = \frac{2 \cdot 5 - 1}{5} = \frac{9}{5}$
Ответ: $1, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{7}{4}, \frac{9}{5}$.

2) определите, возрастающей или убывающей является последовательность, и докажите это;

Сравним значения первых членов: $1 < \frac{3}{2} < \frac{5}{3} < \dots$. Можно предположить, что последовательность является возрастающей. Докажем, что $b_{n+1} > b_n$ для любого натурального $n$. Для этого рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n$. $b_{n+1} = \frac{2(n+1)-1}{n+1} = \frac{2n+1}{n+1}$. $b_{n+1} - b_n = \frac{2n+1}{n+1} - \frac{2n-1}{n} = \frac{n(2n+1) - (n+1)(2n-1)}{n(n+1)} = \frac{2n^2+n - (2n^2-n+2n-1)}{n(n+1)} = \frac{2n^2+n - (2n^2+n-1)}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$. Поскольку $n$ — натуральное число, то $n > 0$ и $n+1 > 0$, следовательно, знаменатель $n(n+1)$ всегда положителен. Числитель равен 1, то есть положителен. Таким образом, вся дробь $\frac{1}{n(n+1)}$ положительна для любого $n \in \mathbb{N}$. Так как $b_{n+1} - b_n > 0$, то $b_{n+1} > b_n$. Это доказывает, что последовательность является возрастающей.
Ответ: последовательность является возрастающей.

3) найдите какой-нибудь промежуток, которому принадлежат все члены этой последовательности.

Поскольку последовательность $b_n$ возрастающая, её наименьший член — первый: $b_1 = 1$. Значит, все члены последовательности не меньше 1, то есть $b_n \ge 1$. Найдём предел последовательности при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n-1}{n} = \lim_{n \to \infty} (2 - \frac{1}{n}) = 2$. Так как последовательность возрастает, она ограничена сверху своим пределом. Все члены последовательности меньше 2. Таким образом, для любого натурального $n$ выполняется неравенство $1 \le b_n < 2$. Следовательно, все члены последовательности принадлежат промежутку $[1, 2)$.
Ответ: $[1, 2)$.

720 Для каждой последовательности, заданной рекуррентным способом, запишите формулу n-го члена:

а) $a_1 = 12, a_{n+1} = a_n - 5;$

б) $a_1 = -3, a_{n+1} = a_n + 5;$

в) $b_1 = 24, b_{n+1} = \frac{b_n}{2};$

г) $b_1 = 2, b_{n+1} = b_n \cdot (-3).$

а)

Дана последовательность с первым членом $a_1 = 12$ и рекуррентной формулой $a_{n+1} = a_n - 5$.

Из формулы $a_{n+1} = a_n - 5$ следует, что каждый следующий член последовательности получается из предыдущего вычитанием постоянного числа 5. Это определение арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии $a_1 = 12$.

Разность прогрессии $d = a_{n+1} - a_n = -5$.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим значения $a_1$ и $d$ в формулу:

$a_n = 12 + (n-1)(-5)$

$a_n = 12 - 5n + 5$

$a_n = 17 - 5n$

Ответ: $a_n = 17 - 5n$.

б)

Дана последовательность с первым членом $a_1 = -3$ и рекуррентной формулой $a_{n+1} = a_n + 5$.

Из формулы $a_{n+1} = a_n + 5$ следует, что каждый следующий член последовательности получается из предыдущего прибавлением постоянного числа 5. Это определение арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии $a_1 = -3$.

Разность прогрессии $d = a_{n+1} - a_n = 5$.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим значения $a_1$ и $d$ в формулу:

$a_n = -3 + (n-1)5$

$a_n = -3 + 5n - 5$

$a_n = 5n - 8$

Ответ: $a_n = 5n - 8$.

в)

Дана последовательность с первым членом $b_1 = 24$ и рекуррентной формулой $b_{n+1} = \frac{b_n}{2}$.

Формулу $b_{n+1} = \frac{b_n}{2}$ можно записать как $b_{n+1} = b_n \cdot \frac{1}{2}$. Это означает, что каждый следующий член последовательности получается умножением предыдущего на постоянное число $\frac{1}{2}$. Это определение геометрической прогрессии.

Первый член прогрессии $b_1 = 24$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{1}{2}$.

Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу:

$b_n = 24 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

Ответ: $b_n = 24 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$.

г)

Дана последовательность с первым членом $b_1 = 2$ и рекуррентной формулой $b_{n+1} = b_n \cdot (-3)$.

Из формулы $b_{n+1} = b_n \cdot (-3)$ следует, что каждый следующий член последовательности получается умножением предыдущего на постоянное число -3. Это определение геометрической прогрессии.

Первый член прогрессии $b_1 = 2$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = -3$.

Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу:

$b_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$

Ответ: $b_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$.

721 В 2008 г. население каждого из угледобывающих посёлков А и В составляло примерно 30 тыс. человек. В связи с истощением месторождений люди начали переезжать в другие места. В каждый год из следующих четырёх лет численность населения посёлка А можно было определить по формуле $A_n = 30\,000 - 2500n$, а посёлка В — по формуле $B_n = 30\,000 \cdot 0,7^n$, где $n$ — число лет, прошедших после 2008 г. В каком из посёлков численность населения изменялась в арифметической прогрессии, а в каком — в геометрической? Продолжите построение диаграммы для каждого случая (рис. 4.20).

Население посёлка А

Население посёлка В

Год

Рис. 4.20

В каком из посёлков численность населения изменялась в арифметической прогрессии, а в каком — в геометрической?

Чтобы определить тип прогрессии, проанализируем формулы изменения численности населения для каждого посёлка.

Посёлок А:

Численность населения в посёлке А через $n$ лет после 2008 года определяется формулой $A_n = 30000 - 2500n$.

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом $d$ (разностью прогрессии).

Рассмотрим последовательность численности населения по годам: $A_0, A_1, A_2, \ldots$. Найдём разность между двумя последовательными членами:

$A_{n+1} - A_n = (30000 - 2500(n+1)) - (30000 - 2500n) = 30000 - 2500n - 2500 - 30000 + 2500n = -2500$.

Разность постоянна и равна $-2500$. Следовательно, численность населения в посёлке А изменялась в арифметической прогрессии.

Посёлок B:

Численность населения в посёлке B через $n$ лет после 2008 года определяется формулой $B_n = 30000 \cdot 0.7^n$.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число $q$ (знаменателем прогрессии).

Рассмотрим последовательность численности населения по годам: $B_0, B_1, B_2, \ldots$. Найдём отношение двух последовательных членов:

$\frac{B_{n+1}}{B_n} = \frac{30000 \cdot 0.7^{n+1}}{30000 \cdot 0.7^n} = 0.7$.

Отношение постоянно и равно $0.7$. Следовательно, численность населения в посёлке B изменялась в геометрической прогрессии.

Ответ: В посёлке А численность населения изменялась в арифметической прогрессии, а в посёлке В — в геометрической прогрессии.

Продолжите построение диаграммы для каждого случая (рис. 4.20).

Для продолжения построения диаграмм необходимо рассчитать численность населения для каждого посёлка на следующие четыре года: 2009, 2010, 2011 и 2012. В формулах это соответствует значениям $n=1, 2, 3, 4$.

Расчёт для посёлка А (арифметическая прогрессия):

Формула: $A_n = 30000 - 2500n$.

Население в 2008 г. ($n=0$): $A_0 = 30000$ человек (исходные данные).

Население в 2009 г. ($n=1$): $A_1 = 30000 - 2500 \cdot 1 = 27500$ человек.

Население в 2010 г. ($n=2$): $A_2 = 30000 - 2500 \cdot 2 = 25000$ человек.

Население в 2011 г. ($n=3$): $A_3 = 30000 - 2500 \cdot 3 = 22500$ человек.

Население в 2012 г. ($n=4$): $A_4 = 30000 - 2500 \cdot 4 = 20000$ человек.

Расчёт для посёлка B (геометрическая прогрессия):

Формула: $B_n = 30000 \cdot 0.7^n$.

Население в 2008 г. ($n=0$): $B_0 = 30000 \cdot 0.7^0 = 30000$ человек (исходные данные).

Население в 2009 г. ($n=1$): $B_1 = 30000 \cdot 0.7^1 = 21000$ человек.

Население в 2010 г. ($n=2$): $B_2 = 30000 \cdot 0.7^2 = 30000 \cdot 0.49 = 14700$ человек.

Население в 2011 г. ($n=3$): $B_3 = 30000 \cdot 0.7^3 = 30000 \cdot 0.343 = 10290$ человек.

Население в 2012 г. ($n=4$): $B_4 = 30000 \cdot 0.7^4 = 30000 \cdot 0.2401 = 7203$ человека.

На диаграммах для каждого посёлка следует нарисовать столбики для 2009, 2010, 2011 и 2012 годов, высота которых соответствует вычисленным значениям численности населения.

Ответ: Значения для построения столбиков на диаграммах:
Посёлок А:
2009 г. – 27 500
2010 г. – 25 000
2011 г. – 22 500
2012 г. – 20 000
Посёлок В:
2009 г. – 21 000
2010 г. – 14 700
2011 г. – 10 290
2012 г. – 7 203