Номер 721, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Последовательности и прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 721, страница 280.

721 В 2008 г. население каждого из угледобывающих посёлков А и В составляло примерно 30 тыс. человек. В связи с истощением месторождений люди начали переезжать в другие места. В каждый год из следующих четырёх лет численность населения посёлка А можно было определить по формуле $A_n = 30\,000 - 2500n$, а посёлка В — по формуле $B_n = 30\,000 \cdot 0,7^n$, где $n$ — число лет, прошедших после 2008 г. В каком из посёлков численность населения изменялась в арифметической прогрессии, а в каком — в геометрической? Продолжите построение диаграммы для каждого случая (рис. 4.20).

Население посёлка А

Население посёлка В

Год

Рис. 4.20

В каком из посёлков численность населения изменялась в арифметической прогрессии, а в каком — в геометрической?

Чтобы определить тип прогрессии, проанализируем формулы изменения численности населения для каждого посёлка.

Посёлок А:

Численность населения в посёлке А через $n$ лет после 2008 года определяется формулой $A_n = 30000 - 2500n$.

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом $d$ (разностью прогрессии).

Рассмотрим последовательность численности населения по годам: $A_0, A_1, A_2, \ldots$. Найдём разность между двумя последовательными членами:

$A_{n+1} - A_n = (30000 - 2500(n+1)) - (30000 - 2500n) = 30000 - 2500n - 2500 - 30000 + 2500n = -2500$.

Разность постоянна и равна $-2500$. Следовательно, численность населения в посёлке А изменялась в арифметической прогрессии.

Посёлок B:

Численность населения в посёлке B через $n$ лет после 2008 года определяется формулой $B_n = 30000 \cdot 0.7^n$.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число $q$ (знаменателем прогрессии).

Рассмотрим последовательность численности населения по годам: $B_0, B_1, B_2, \ldots$. Найдём отношение двух последовательных членов:

$\frac{B_{n+1}}{B_n} = \frac{30000 \cdot 0.7^{n+1}}{30000 \cdot 0.7^n} = 0.7$.

Отношение постоянно и равно $0.7$. Следовательно, численность населения в посёлке B изменялась в геометрической прогрессии.

Ответ: В посёлке А численность населения изменялась в арифметической прогрессии, а в посёлке В — в геометрической прогрессии.

Продолжите построение диаграммы для каждого случая (рис. 4.20).

Для продолжения построения диаграмм необходимо рассчитать численность населения для каждого посёлка на следующие четыре года: 2009, 2010, 2011 и 2012. В формулах это соответствует значениям $n=1, 2, 3, 4$.

Расчёт для посёлка А (арифметическая прогрессия):

Формула: $A_n = 30000 - 2500n$.

Население в 2008 г. ($n=0$): $A_0 = 30000$ человек (исходные данные).

Население в 2009 г. ($n=1$): $A_1 = 30000 - 2500 \cdot 1 = 27500$ человек.

Население в 2010 г. ($n=2$): $A_2 = 30000 - 2500 \cdot 2 = 25000$ человек.

Население в 2011 г. ($n=3$): $A_3 = 30000 - 2500 \cdot 3 = 22500$ человек.

Население в 2012 г. ($n=4$): $A_4 = 30000 - 2500 \cdot 4 = 20000$ человек.

Расчёт для посёлка B (геометрическая прогрессия):

Формула: $B_n = 30000 \cdot 0.7^n$.

Население в 2008 г. ($n=0$): $B_0 = 30000 \cdot 0.7^0 = 30000$ человек (исходные данные).

Население в 2009 г. ($n=1$): $B_1 = 30000 \cdot 0.7^1 = 21000$ человек.

Население в 2010 г. ($n=2$): $B_2 = 30000 \cdot 0.7^2 = 30000 \cdot 0.49 = 14700$ человек.

Население в 2011 г. ($n=3$): $B_3 = 30000 \cdot 0.7^3 = 30000 \cdot 0.343 = 10290$ человек.

Население в 2012 г. ($n=4$): $B_4 = 30000 \cdot 0.7^4 = 30000 \cdot 0.2401 = 7203$ человека.

На диаграммах для каждого посёлка следует нарисовать столбики для 2009, 2010, 2011 и 2012 годов, высота которых соответствует вычисленным значениям численности населения.

Ответ: Значения для построения столбиков на диаграммах:
Посёлок А:
2009 г. – 27 500
2010 г. – 25 000
2011 г. – 22 500
2012 г. – 20 000
Посёлок В:
2009 г. – 21 000
2010 г. – 14 700
2011 г. – 10 290
2012 г. – 7 203